Nauka » Matematyka » Ciąg geometryczny

Zadanie maturalne nr 12, matura 2019

Treść zadania:

Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ , określony dla $n \geq 1$ . Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek $\frac{a_{5}}{a_{3}} = \frac{1}{9}$ . Iloraz tego ciągu jest równy:

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

C. $3$

D. $\sqrt{3}$

Rozwiązanie zadania

Iloraz ciągu geometrycznego dany jest wzorem:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$

Możemy więc zapisać, że:

$\frac{a_{4}}{a_{3}} = q$ ,

a także:

$\frac{a_{5}}{a_{4}} = q$ , skąd $a_{5} = a_{4} \cdot q$ .

Podstawiamy do danego ilorazu w zadaniu powyższe wyrażenia:

$\frac{a_{5}}{a_{3}} = \frac{1}{9}$

$\frac{a_{4} \cdot q}{a_{3}} = \frac{1}{9}$

$q \cdot \frac{a_{4}}{a_{3}} = \frac{1}{9}$

$q^{2} = \frac{1}{9}$

$q = \frac{1}{3}$

Odpowiedź

Odpowiedź A

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $(2 + \sqrt{2}, 2 + 2 \sqrt{2}, 4 + 2 \sqrt{2}, 4 + 4 \sqrt{2}, . . .)$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , a siódmy $\sqrt{2}$ . Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Dla jakich wartości $x$ i $y$ ciąg $(5, x, y, \frac{1}{25})$ jest ciągiem geometrycznym?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody, wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Ciąg $(x, 2 x + 3, 4 x + 3)$ jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:

A. -4

B. 1

C. 0

D. -1

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ określony wzorem $a_{n} = (\frac{1}{2 x - 371})^{n}$ , dla $n \geq 1$ . Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą $x$ , dla której nieskończony szereg $a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . .$ jest zbieżny.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

W rosnącym ciągu geometrycznym $(a_{n})$ , określonym dla $n \geq 1$ , spełniony jest warunek $a_{4} = 3 a_{1}$ . Iloraz $q$ tego ciągu jest równy:

A. $q = \frac{1}{3}$

B. $q = \frac{1}{\sqrt[3]{3}}$

C. $q = \sqrt[3]{3}$

D. $q = 3$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

W nieskończonym ciągu arytmetycznym $(a_{n})$ , określonym dla $n \geq 1$ , suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy $a_{1}, a_{3}, a_{k}$ ciągu $(a_{n})$ , w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg — trzywyrazowy ciąg geometryczny $(b_{n})$ . Oblicz $k$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Liczby: $x - 2, 6, 12$ , w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba $x$ jest równa:

A. 0

B. 2

C. 3

D. 5

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny $(24, 6, a - 1)$ . Stąd wynika, że:

A. $\frac{5}{2}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{3}{2}$

D. $\frac{2}{3}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 — maturalne.

Liczby $a, b, c$ są — odpowiednio — pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg $(a - 2, b, 2 c + 1)$ jest geometryczny. Wyznacz liczby $a, b, c$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14 — maturalne.

Trzywyrazowy ciąg $(15, 3 x, \frac{5}{3})$ jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że:

A. $x = \frac{3}{5}$

B. $x = \frac{4}{5}$

C. $x = 1$

D. $x = \frac{5}{3}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15 — maturalne.

Dany jest ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $a_{n} = \frac{(5 - 2 n)}{6}$ dla $n \geq 1$ . Ciąg ten jest

A. arytmetyczny i jego różnica jest równa $r = - \frac{1}{3}$ .

B. arytmetyczny i jego różnica jest równa $r = - 2$ .

C. geometryczny i jego iloraz jest równy $q = - \frac{1}{3}$ .

D. geometryczny i jego iloraz jest równy $q = \frac{5}{6}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 16 — maturalne.

Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ , określony dla $n \geq 1$ , w którym $a_{1} = \sqrt{2}, a_{2} = 2 \sqrt{2}, a_{3} = 4 \sqrt{2}$ . Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać

A. $a_{n} = (\sqrt{2})^{n}$

B. $a_{n} = \frac{2^{n}}{\sqrt{2}}$

C. $a_{n} = (\frac{\sqrt{2}}{2})^{n}$

D. $a_{n} = \frac{(\sqrt{2})^{n}}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 17 — maturalne.

Liczby $a, b, c$ , spełniające warunek $3 a + b + 3 c = 77$ , są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg $(a, b + 1, 2 c)$ jest geometryczny. Wyznacz liczby $a, b, c$ oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 18 — maturalne.

Ciąg $(a, b, c)$ jest geometryczny, ciąg $(a + 1, b + 5, c)$ jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz $a + b + c = 39$ . Oblicz $a, b, c$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 19 — maturalne.

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , określonego dla $n \geq 1$ , są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek $6 a_{1} - 5 a_{2} + a_{3} = 0$ . Oblicz iloraz $q$ tego ciągu należący do przedziału $⟨ 2 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2} ⟩$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 20 — maturalne.

W trzywyrazowym ciągu geometrycznym $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ spełniona jest równość $a_{1} + a_{2} + a_{3} = \frac{21}{4}$ . Wyrazy $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ są — odpowiednio — czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz $a_{1}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 21 — maturalne.

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , określonego dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , są dodatnie i $9 a_{5} = 4 a_{3}$ . Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $\frac{2}{9}$

D. $\frac{9}{2}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 22 — maturalne.

Trzywyrazowy ciąg $(27, 9, a - 1)$ jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba $a$ jest równa

A. 3

B. 0

C. 4

D. 2

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 23 — maturalne.

W chwili początkowej ( $t = 0$ ) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej $t \geq 0$ funkcja $m (t)$ określa masę substancji w gramach po $t$ pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji $m (t)$ . Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od $1, 5$ grama. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.