Zadanie maturalne nr 14, matura 2019

Zadanie nr 1.

Przez punkty $A,B$ na okręgu o promieniu $r=2,5$ poprowadzono średnicę. Punkt $D$ leży na okręgu tak, że $|BD|=4$. Oblicz odległość $|AD|$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Na średnicy okręgu o promieniu długości 6 obrano punkt $A$ w taki sposób, że punkt ten dzieli promień okręgu w stosunku 1 do 2 (krótszy odcinek znajduje się bliżej okręgu). Obliczyć obwód trójkątów wyznaczonych przez średnicę i odcinek prostopadłej przechodzący przez punkt $A$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Oblicz miarę kąta $alpha$, zaznaczonego na rysunku.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4 — maturalne.

Punkty $ABCD$ leżą na okręgu o środku $S$ (zobacz rysunek). Miara kąta $BDC$ jest równa:

A. 91°

B. 72,5°

C. 18°

D. 32°

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5 — maturalne.

Miara kąta wpisanego w okrąg jest o $20°$ mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Wynika stąd, że miara kąta wpisanego jest równa:

A. $5°$

B. $10°$

C. $20°$

D. $30°$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6 — maturalne.

Środek $S$ okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym $ABC$, o ramionach $AC$ i $BC$, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek).

Wykaż, że miara kąta wypukłego $ASB$ jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego $SBC$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7 — maturalne.

Na okręgu o środku w punkcie $O$ leży punkt $C$ (zobacz rysunek). Odcinek $AB$ jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy $\alpha$ ma miarę:

A. \(m=116°

B. \(m=114°

C. \(m=112°

D. \(m=110°

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Dany jest okrąg o środku $S$. Punkty $K,L$ i $M$ leżą na tym okręgu. Na łuku $KL$ tego okręgu są oparte kąty $KSL$ i $KML$ (zobacz rysunek), których miary $\alpha$ i $\beta$, spełniają warunek $\alpha +\beta =111°$. Wynika stąd, że

A. $\alpha =74°$

B. $\alpha =76°$

C. $\alpha =70°$

D. $\alpha =72°$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Okręgi o środkach odpowiednio $A$ i $B$ są styczne zewnętrznie i każdy z nich jest styczny do obu ramion danego kąta prostego (zobacz rysunek). Promień okręgu o środku $A$ jest równy 2.

Uzasadnij, że promień okręgu o środku $B$ jest mniejszy od $\sqrt{2}-1$.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Trójkąt $ABC$ jest ostrokątny oraz $|AC|>|BC|$. Dwusieczna $d_C$ kąta $ACB$ przecina bok $AB$ w punkcie $K$. Punkt $L$ jest obrazem punktu $K$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_A$ kąta $BAC$, punkt $M$ jest obrazem punktu $L$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_C$ kąta $ACB$, a punkt $N$ jest obrazem punktu $M$ w symetrii osiowej względem dwusiecznej $d_B$ kąta $ABC$ (zobacz rysunek).

Udowodnij, że na czworokącie $KNML$ można opisać okrąg.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Punkty $A,B,C,D$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt środkowy $DOC$ ma miarę 118° (zobacz rysunek).

Miara kąta ABC jest równa

A. 59°

B. 48°

C. 62°

D. 31°

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Punkty A, B, C leżą na okręgu o środku S. Punkt D jest punktem przecięcia cięciwy AC i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu B. Miara kąta BSC jest równa α, a miara kąta ADB jest równa γ (zobacz rysunek).

Wtedy kąt ABD ma miarę

A. $\frac{\alpha }{2}+\gamma -180°$

B. $180°-\frac{\alpha }{2}-\gamma$

C. $180°-\alpha -\gamma$

D. $\alpha +\gamma -180°$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 — maturalne.

Punkty $A,B,C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt $ACO$ ma miarę 70° (zobacz rysunek). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa:

A. $10°$

B. $20°$

C. $35°$

D. $40°$

Pokaż rozwiązanie zadania.