Zadanie - wykres funkcji homograficznej y=(x-3)/(x-4)
Treść zadania:
Sporządzić wykres funkcji \(y=\frac{x-3}{x-4}\).
Rozwiązanie zadania
Mamy do czynienia z funkcją homograficzną. Jej wykresem jest hiperbola. Zwykle w takich przypadkach dzielimy wielomiany występujące w liczniku i mianowniku, jednak tutaj możemy zastosować prostszą metodę. Do licznika dodajemy liczbę \(0=-1+1\) i dostajemy wówczas:
\(y=\frac{x-3-1+1}{x-4}\)
\(y=\frac{x-4+1}{x-4}\)
\(y=\frac{x-4}{x-4}+\frac{1}{x-4}\)
\(y=1+\frac{1}{x-4}\)
\(y-1=\frac{1}{x-4}\)
Aby naszkicować wykres tej funkcji skorzystamy z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przesunięty w układzie współrzędnych o wektor \([p,q]\) ma wzór:
Jeżeli \(f(x)=\frac{1}{x}\), to \(f(x-p)=\frac{1}{x-p}\). Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci:
\(y-q=f(x-p)\)
\(y-1=\frac{1}{x-4}\)
\(p=4, q=1\)
Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji \(y=\frac{1}{x}\) w układzie współrzędnych o wektor \([4,1]\).
Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji elementarnej \(y=\frac{1}{x}\).
| \(x\) | -2 | -1 | -1/2 | 1/2 | 1 | 2 |
| \(f(x)\) | -1/2 | -1 | -2 | 2 | 1 | 1/2 |
Sporządzamy wykres funkcji \(y=\frac{x-3}{x-4}\):
© medianauka.pl, 2009-12-30, ZAD-466
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1\).
Zadanie nr 5.
Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\), który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem \(y=\frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 0\).
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji \(f\) są większe od \(0\).
b) Podaj miejsce zerowe funkcji \(g\) określonej wzorem \(g(x)=f(x-3)\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej w zbiorze \([−6, 5]\).
Funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x)=f(x)-2\) dla \(x\in [−6, 5]\). Wskaż zdanie prawdziwe.
A. Liczba \(f(2)+g(2)\) jest równa \((−2)\).
B. Zbiory wartości funkcji \(f\) i \(g\) są równe.
C. Funkcje \(f\) i \(g\) mają te same miejsca zerowe.
D. Punkt \(P=(0,−2)\) należy do wykresów funkcji \(f\) i \(g\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej na zbiorze \(\langle -4; 5\rangle\).
Funkcję \(g\) określono za pomocą funkcji \(f\). Wykres funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku 2.
Wynika stąd, że
A. \(g(x)=f(x)-2\)
B. \(g(x)=f(x-2)\)
C. \(g(x)=f(x)+2\)
D. \(g(x)=f(x+2)\)