Zadanie - Wykres funkcji homograficznej y=(-4x+7)/(2x-2)
Treść zadania:
Sporządzić wykres funkcji \(y=\frac{-4x+7}{2x-2}\).
Rozwiązanie zadania
Mamy do czynienia z funkcją homograficzną. Jej wykresem jest hiperbola. W takich przypadkach najczęściej dzielimy wielomiany występujące w liczniku i mianowniku. Wykonajmy więc takie dzielenie:
\((-4x+7):(2x-2)=-2\)
\(\underline{-4x+4}\)
\(\ R=3\)
Otrzymaliśmy resztę z dzielenia. Wynik zapisujemy w następujący sposób:
\(y=\frac{-4x+7}{2x-2}=-2+\frac{3}{2x-2}\)
Sprowadzimy naszą funkcję do postaci \(f(x)=\frac{a}{x}\):
\(y=-2+\frac{3}{2x-2}\)
\(y=-2+\frac{3}{2(x-1)}\)
\(y+2=\frac{\frac{3}{2}}{x-1}\)
Aby naszkicować wykres tej funkcji skorzystamy z wiedzy na temat przesuwania wykresu funkcji w układzie współrzędnych o zadany wektor.
Wykres funkcji \(y=f(x)\) przesunięty w układzie współrzędnych o wektor \([p,q]\) ma wzór:
Jeżeli \(y=\frac{\frac{3}{2}}{x}\), to \(f(x-p)=\frac{\frac{3}{2}}{x-p}\). Zapiszemy naszą funkcję w następującej postaci
\(y-q=f(x-p)\)
\(y-(-2)=\frac{\frac{3}{2}}{x-1}\)
\(p=1, q=-2\)
Wystarczy więc przesunąć wykres funkcji \(y=\frac{\frac{3}{2}}{x}\) w układzie współrzędnych o wektor \(\vec{v}=[1,-2]\). Poniżej tabelka zmienności funkcji dla funkcji \(y=\frac{\frac{3}{2}}{x}\):
| \(x\) | 1 | -1 | 1/2 | -1/2 | 3 | -3 |
| \(f(x)\) | 3/2 | -3/2 | 3 | -3 | 1/2 | -1/2 |
Sporządzamy wykres funkcji \(y=\frac{-4x+7}{2x-2}\):
© medianauka.pl, 2009-12-30, ZAD-467
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{3}}{(x-3)}+1\).
Zadanie nr 5.
Naszkicować wykres funkcji \(y=\log_{\frac{1}{2}}{(\sqrt{2}x+2\sqrt{2})}+1\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\), który powstał w wyniku przesunięcia wykresu funkcji określonej wzorem \(y=\frac{1}{x}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 0\).
a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji \(f\) są większe od \(0\).
b) Podaj miejsce zerowe funkcji \(g\) określonej wzorem \(g(x)=f(x-3)\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej w zbiorze \([−6, 5]\).
Funkcja \(g\) jest określona wzorem \(g(x)=f(x)-2\) dla \(x\in [−6, 5]\). Wskaż zdanie prawdziwe.
A. Liczba \(f(2)+g(2)\) jest równa \((−2)\).
B. Zbiory wartości funkcji \(f\) i \(g\) są równe.
C. Funkcje \(f\) i \(g\) mają te same miejsca zerowe.
D. Punkt \(P=(0,−2)\) należy do wykresów funkcji \(f\) i \(g\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej na zbiorze \(\langle -4; 5\rangle\).
Funkcję \(g\) określono za pomocą funkcji \(f\). Wykres funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku 2.
Wynika stąd, że
A. \(g(x)=f(x)-2\)
B. \(g(x)=f(x-2)\)
C. \(g(x)=f(x)+2\)
D. \(g(x)=f(x+2)\)