Zadanie maturalne nr 29, matura 2019
Treść zadania:
Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Na przedłużeniu cięciwy \(AB\) poza punkt \(B\) odłożono odcinek \(BC\) równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty \(C\) i \(S\) poprowadzono prostą. Prosta \(CS\) przecina dany okrąg w punktach \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta \(ACS\) jest równa \(\alpha\), to miara kąta \(ASD\) jest równa \(3\alpha\).
Rozwiązanie zadania
Na rysunku wprowadzamy następujące oznaczenia:
Dany jest kąt |∠BCS|=α. Z treści zadania wynika, że trójkąt BCS jest równoramienny, gdyż |BS|=|BC|. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są sobie równe, zatem |∠BCS|=|∠BSC|=α.
Suma kątów w trójkącie jest równa 180°, więc:
|∠SBC|=φ=180°-2α.
Kąty ∠ABS i ∠SBC są kątami przyległymi, a ich miara wynosi 180°. Zatem:
φ+β=180°
180°-2α+β=180°
β=2α.
Z treści zadania wynika, że trójkąt ABS jest równoramienny, gdyż |AS|=|BS|. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są sobie równe, zatem |∠SAB|=|∠SBA|=2α.
Suma kątów w trójkącie jest równa 180°, więc:
δ=180°-2β=180°-4α
Kąty ∠ASD i ∠ASB i ∠BSC tworzą razem kąt półpełny. Zatem:
δ+γ+α=180°
180°-4α+γ+α=180°
γ=3α
To kończy nasz dowód.
© medianauka.pl, 2023-02-05, ZAD-4689
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa \(\frac{4}{9}\) długości okręgu, ma miarę:
A. \(160°\)
B. \(80°\)
C. \(40°\)
D. \(20°\)