zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 29, matura 2019

Treść zadania:

Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Na przedłużeniu cięciwy \(AB\) poza punkt \(B\) odłożono odcinek \(BC\) równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty \(C\) i \(S\) poprowadzono prostą. Prosta \(CS\) przecina dany okrąg w punktach \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta \(ACS\) jest równa \(\alpha\), to miara kąta \(ASD\) jest równa \(3\alpha\).

Rysunek


ksiązki Rozwiązanie zadania

Na rysunku wprowadzamy następujące oznaczenia:

Rysunek

Dany jest kąt |∠BCS|=α. Z treści zadania wynika, że trójkąt BCS jest równoramienny, gdyż |BS|=|BC|. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są sobie równe, zatem |∠BCS|=|∠BSC|=α.

Suma kątów w trójkącie jest równa 180°, więc:

|∠SBC|=φ=180°-2α.

Kąty ∠ABS i ∠SBC są kątami przyległymi, a ich miara wynosi 180°. Zatem:

φ+β=180°

180°-2α+β=180°

β=2α.

Z treści zadania wynika, że trójkąt ABS jest równoramienny, gdyż |AS|=|BS|. W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie są sobie równe, zatem |∠SAB|=|∠SBA|=2α.

Suma kątów w trójkącie jest równa 180°, więc:

δ=180°-2β=180°-4α

Kąty ∠ASD i ∠ASB i ∠BSC tworzą razem kąt półpełny. Zatem:

δ+γ+α=180°

180°-4α+γ+α=180°

γ=3α

To kończy nasz dowód.


© medianauka.pl, 2023-02-05, ZAD-4689

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


zadanie maturalne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa \(\frac{4}{9}\) długości okręgu, ma miarę:

A. \(160°\)

B. \(80°\)

C. \(40°\)

D. \(20°\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.