Zadanie - Zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły

Treść zadania:

Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Liczbę \(0,(13)\) możemy zapisać w następującej postaci: \(0,131313...\).

Aby zamienić ją na ułamek zwykły skorzystamy z sumy szeregu geometrycznego i przedstawić liczbę \(0,1313...\) w postaci ciągu sum częściowych:

\(a_1+a_1 q+a_1 q^2+...+a_1 q^{n-1}+...\)

Nietrudno zauważyć, że:

\(0,131313...=0,13+0,0013+0,000013+0,00000013+...=\)

\( =0,13+0,13\cdot 0,01 + 0,13\cdot 0,0001+0,13\cdot 0,000001+...=\)

\(=0,13+0,13\cdot 0,01+0,13\cdot (0,01)^2+0,13\cdot (0,01)^3+...\)

Kolorem niebieskim zaznaczono w szeregu wyraz \(a_1\), na zielonym - iloraz \(q\). Właśnie wyraziliśmy liczbę \(0,131313...\) jako szereg geometryczny. Możemy więc teraz zastosować wzór na sumę szeregu geometrycznego. Obliczamy więc sumę wszystkich nieskończenie wielu wyrazów naszego szeregu. Wzór na sumę szeregu geometrycznego jest następujący:

\(S=\frac{a_1}{1-q}\) dla \(|q|<1\)

Możemy więc napisać:

\(a_1=0,13\)

\(q=0,01\)

\(S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,13}{1-0,01}=\frac{\frac{13}{100}}{\frac{99}{100}}=\frac{13}{\cancel{100}}\cdot \frac{\cancel{100}}{99}=\frac{13}{99}\)

\( 0,1313...=\frac{13}{99}\)

ksiązki Odpowiedź

\(0,(13)=\frac{13}{99}\)

© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-469

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijką trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość. Najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Obliczyć \(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie \(1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)

• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Zadanie 10, matura 2023, matematyka rozszerzona

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.