Zadanie - zamiana ułamka okresowego na ułamek zwykły
Treść zadania:
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).
Rozwiązanie zadania
Literka c oznacza dowolną cyfrę od \(1\) do \(9\). Gdy \(c=0\), to Liczba \(0,(c)\) jest po prostu zerem. W pozostałych przypadkach stosujemy sumę szeregu geometrycznego do znalezienia ułamka zwykłego. Liczbę \(0,(c)\) możemy zapisać jako \(0,ccc...\).
Liczbę \(0,ccc...\) postaramy się przedstawić w postaci szeregu geometrycznego:
Dokonujemy małych przekształceń:
\(0,ccc...=0,c+0,0c+0,00c+0,000c+...=\)
\(=0,c+0,c\cdot 0,1 + 0,c\cdot 0,01+0,c\cdot 0,001+...=\)
\(=0,c+0,c\cdot 0,1+0,c\cdot (0,1)^2+0,c\cdot (0,1)^3+...\)
Jeśli przyjrzysz się definicji szeregu geometrycznego i postaci, do jakiej doprowadziliśmy naszą liczbę, to widać podobieństwo. Na niebiesko zaznaczono w szeregu wyraz \(a_1\), na zielono - iloraz \(q\).
Wyraziliśmy liczbę \(0,ccc...\) jako szereg geometryczny. Zrobiliśmy to w celu zastosowania wzoru na sumę szeregu geometrycznego:
Obliczamy sumę:
\(a_1=0,c\)
\(q=0,1\)
\(S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{0,c}{1-0,1}=\frac{\frac{c}{10}}{\frac{9}{10}} =\frac{c}{\cancel{10}}\cdot \frac{\cancel{10}}{9}=\frac{c}{9}\)
\( 0,ccc...=\frac{c}{9}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-470
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.
Zadanie nr 4.
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijką trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość. Najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?
Zadanie nr 6.
Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).
Zadanie nr 7.
Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).
Zadanie nr 9.
Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?
Zadanie nr 10 — maturalne.
Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)
• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.