zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 1, matura 2019 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Funkcja \(f\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq −2\) wzorem:

\(f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|\)

Wyznacz zbiór wartości tej funkcji.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Skorzystamy z definicji wartości bezwzględnej:

Wartość bezwzględną liczby x oznaczamy symbolem |x| i określamy w następujący sposób:

|x| = \\begin{cases} x \\text{ dla x\\geq 0} \\\\-x \\text{ dla x<0}\\end{cases}

Rozpatrzymy cztery różne przypadki:

Przypadek 1

\(\begin{cases}x+2\geq 0 \\ x-1\geq 0\end{cases}\)

\(\begin{cases}x\geq -2 \\ x\geq 1\end{cases}\)

\(x\in \langle 1;+\infty) \)

Wówczas możemy opuścić wartości bezwzględne:

\(f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|\)

\(f(x)=\frac{x+2}{x+2}-x+3(x-1)\)

\(f(x)=1-x+3x-3\)

\(f(x)=2x-2\)

To jest wzór funkcji w określonym wyżej przedziale.

Przypadek 2

\(\begin{cases}x+2< 0 \\ x-1< 0\end{cases}\)

\(\begin{cases}x< -2 \\ x< 1\end{cases}\)

\(x\in (-\infty;-2) \)

Wówczas możemy opuścić wartości bezwzględne ze zmienionym znakiem:

\(f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|\)

\(f(x)=\frac{-(x+2)}{x+2}-x+3(-x+1)\)

\(f(x)=-1-x-3x+3\)

\(f(x)=-4x+2\)

Przypadek 3

\(\begin{cases}x+2\geq 0 \\ x-1< 0\end{cases}\)

\(\begin{cases}x\geq -2 \\ x< 1\end{cases}\)

\(x\in \langle -2;1) \)

Mamy więc:

\(f(x)=\frac{|x+2|}{x+2}-x+3|x-1|\)

\(f(x)=\frac{x+2}{x+2}-x+3(-x+1)\)

\(f(x)=1-x-3x+3\)

\(f(x)=-4x+4\)

Przypadek 4

\(\begin{cases}x+2< 0 \\ x-1\geq 0\end{cases}\)

\(\begin{cases}x< -2 \\ x\geq 1\end{cases}\)

\(x\in \emptyset \)

Sporządzamy wykres w każdym z przedziałów.

wykres

Z wykresu możemy odczytać zbiór wartości funkcji.

ksiązki Odpowiedź

\(f(x)\in \langle 0;+\infty)\)

© medianauka.pl, 2023-02-12, ZAD-4700

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Sporządzić wykres funkcji \(f(x)=|x+1|\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.