Zadanie maturalne nr 2, matura 2019 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\), takich że \(x<y\) , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(a\) prawdziwa jest nierówność:
\(\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2\)
Rozwiązanie zadania
Mamy wyrażenie:
\(\frac{x+a}{y+a}+\frac{y}{x}>2\)
\(\frac{(x+a)x}{(y+a)x}+\frac{y(y+a)}{x(y+a)}-\frac{2x(y+a)}{(y+a)x}>0 \)
\(\frac{(x+a)x+y(y+a)-2x(y+a)}{(y+a)x}>0\)
\(\frac{x^2+ax+y^2+ay-2xy-2ax}{x(y+a)}>0\)
Pogrupujmy i zredukujmy wyrazy w liczniku:
\(\frac{(x^2-2xy+y^2)+ay-ax}{x(y+a)}>0\)
\(\frac{(x+y)^2+a(y-x)}{x(y+a)}>0\)
Zauważmy, że x, y i a są liczbami dodatnimi, dodatnie są też ich sumy i kwadraty, a ponieważ z warunków zadnia wynika, że y>x, to y-x>0. Zatem wszystkie wyrazy w l;liczniku i mianowniku są dodatnie, a co za tym idzie całe wyrażenie jest dodatnie, co należało dowieść.
© medianauka.pl, 2023-02-14, ZAD-4701
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Jedną z liczb, które spełniają nierówność \(-x^5+x^3-x<-2\) jest:
A. \(1\)
B. \((-1)\)
C. \(2\)
D. \((-2)\)
Zadanie nr 2 — maturalne.
Do zbioru rozwiązań nierówności \((x^4+1)(2-x)>0\) nie należy:
A. \((-3)\)
B. \((-1)\)
C. \(1\)
D. \(3\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(a\), \(b\) prawdziwa jest nierówność.
\(\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\geq \frac{2}{a+b}\)
Zadanie nr 4 — maturalne.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(3(1−x)>2(3x−1)−12x\) jest przedział
A. \((-\frac{5}{3},+\infty)\)
B. \((-\infty,\frac{5}{3})\)
C. \((\frac{5}{3},+\infty)\)
D. \((-\infty,-\frac{5}{3})\)
Zadanie nr 5 — maturalne.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2}{5}-\frac{x}{3}>\frac{x}{5}\) jest przedział
A. \((-\infty; 0)\)
B. \((0; +\infty)\)
C. \((-\infty; \frac{3}{4})\)
D. \((\frac{3}{4}; +\infty)\)