zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 5, matura 2019 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Dane są okręgi o równaniach \(x^2+y^2−12x−8y+43=0\) i \(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Równanie kanoniczne okręgu ma postać:

(x-p)^2+(y-q)^2=r^2

gdzie r>0 jest promieniem okręgu, a S(p,q) jest jego środkiem.

W pierwszym równaniu mamy:

\(x^2+y^2−12x−8y+43=0\)

\(x^2−12x +36-36+y^2−8y+16-16+43=0\)

\((x-6)^2+(y-4)^2+43-36-16=0\)\

\((x-6)^2+(y-4)^2=3^2\)

Mamy więc okrąg o środku w punkcie \(S_1=(6,4)\) i promieniu \(r_1=3\).

Rozważmy drugi z okręgów, który jest sparametryzowany:

\(x^2+y^2−2ax+4y+a^2−77=0\)

\(x^2−2ax+a^2+y^2+4y+4-4−77=0\)

\((x-a)^2+(y+2)^2=9^2\)

Mamy więc okrąg o środku w punkcie \(S_2=(a,-2)\) i promieniu \(r_2=9\).

Sporządzimy rysunek poglądowy. Pierwszy z okręgów jest dany. Środek drugiego ma określoną współrzędną \(y=-2\). Środek drugiego okręgu może się "przesuwać" po tej prostej, dopóki okrąg ten nie znajdzie z pierwszym okręgiem jednego wspólnego punktu (styczności). Mamy kilka takich przypadków:

Rysunek do zadania

Mamy dwa przypadki styczności: zewnętrzną i wewnętrzną. Możemy dla nich zapisać warunki:

\(|S_1S_2|=r_1+r_2\) i \(|S_1S_2|=r_2-r_1\)

Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych:

Wzór na długość odcinka

Długość odcinka w układzie współrzędnych jest równa odległości końców odcinka \(A=(x_A,y_A), B=(x_B, y_B)\) i obliczamy ją ze wzoru:

\(d=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)

\(\sqrt{(a-6)^2+6^2}=9+3/^2\)

\((a-6)^2+36=144\)

\(a^2-12a+36+36-144=0\)

\(a^2-12a-72=0\)

\(\Delta_a=144+4\cdot 72==432\)

\(\sqrt{\Delta_a}=\sqrt{432}=12\sqrt{3}\)

\(a_1=\frac{12-12\sqrt{3}}{2}=6-6\sqrt{3}\)

\(a_2=\frac{12+12\sqrt{3}}{2}=6+6\sqrt{3}\)

Teraz badamy drugi przypadek styczności.

\(\sqrt{(a-6)^2+6^2}=9-3/^2\)

\((a-6)^2+36=36\)

\((a-6)^2=0\)

\(a=6\)

ksiązki Odpowiedź

\(a_1=6-6\sqrt{3}\), \(a_2=6+6\sqrt{3}\), \(a_3=6\)

© medianauka.pl, 2023-02-12, ZAD-4707

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać graficznie równanie \(x^2+y^2+4x+6y+9=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Napisać równanie okręgu, który został zilustrowany na poniższym rysunku.

okrąg w układzie współrzędnych

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać graficznie równanie \(xy-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać graficznie równanie \(2x^2+y+x-1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Znaleźć równanie okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, wyznaczonym przez punkty \(A=(1,1), B=(5,1), C=(3,2\sqrt{3}+1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dany jest punkt \(A=(-1,1)\). Znaleźć punkt \(B\), jeżeli wiadomo, że \(|\vec{AB}|=4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\leq 2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu \((x+2)^2+(y-3)^2=4\) z osiami układu współrzędnych jest równa:

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Dany jest okrąg o środku \(S=(2,3)\) i promieniu \(r=5\). Który z podanych punktów leży na tym okręgu?

A. \(A=(-1, 7)\)

B. \(B=(2, 3)\)

C. \(C=(3, 2)\)

D. \(D=(5, 3)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkty \(A=(−5, 3)\) i \(B=(0, 6)\), którego środek leży na prostej o równaniu \(x−3y+1=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Średnicą okręgu jest odcinek \(KL\), gdzie \(K=(6,8)\), \(L=(−6, − 8)\). Równanie tego okręgu ma postać

A. \(x^2+y^2=200\)

B. \(x^2+y^2=100\)

C. \(x^2+y^2=400\)

D. \(x^2+y^2=300\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.