Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego

Treść zadania:

Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Zaczynamy od sporządzenia rysunku.

rysunek

Mamy więc obliczyć pole powierzchni wszystkich kwadratów \(k_1, k_2, k_3,...\).
Niech \(P\) oznacza szukane pole powierzchni, a \(p_n\) pole powierzchni kwadratu \(k_n\).

\(P=p_1+p_2+p_3+...\)

\(p_1=a^2\)

Pole \(p_1\) było łatwo policzyć. Aby policzyć pole kolejnego kwadratu, musimy znać jego długość boku. Spójrz na poniższy rysunek:

rysunek

Mamy tu do czynienia z trójkątem prostokątnym. Długość boku kwadratu \(k_2\) jest równa długości przeciwprostokątnej w zaznaczonym trójkącie. Przeciwprostokątne mają długość równą połowie długości boku kwadratu \(k_2\). Korzystamy więc z twierdzenia Pitagorasa:

\((\frac{a}{2})^2+(\frac{a}{2})^2=b^2\)

\(\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{4}=b^2\)

\(\frac{2\cdot a^2}{4}=b^2\)

\(\frac{a^2}{4}=b^2\)

\(b=\sqrt{\frac{a^2}{4}}\)

\(b=\frac{a\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}\)

\(b=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

Zauważmy, że otrzymaliśmy zależność między dwoma kolejnymi długościami boków kwadratów, gdyż długość boku następnego kwadratu obliczalibyśmy w ten sam sposób. Możemy zapisać, że długość boku kolejnego kwadratu \(a_n\) jest równa długości boku większego (poprzedniego) kwadratu \(a_{n-1}\) pomnożona przez czynnik \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). To samo można zapisać za pomocą wzoru i obliczyć wszystkie kolejne długości boków kwadratów:

\(a_n=\frac{\sqrt{2}}{2}a_{n-1}\)

\(a_1=a\)

\(a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}a_1=\frac{\sqrt{2}}{2}a\)

\(a_3=\frac{\sqrt{2}}{2}a_2=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{2}{4}a=\frac{a}{2}\)

\(a_4=\frac{\sqrt{2}}{2}a_3=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}a\)

\(...\)

Ponieważ pole kwadratu to długość boku podniesiona do kwadratu, więc znaleźliśmy wzór na pole kolejnego kwadratu:

\(p_n=(a_n)^2\)

\(p_1=a^2\)

\(p_2=(\frac{\sqrt{2}}{2}a)^2=\frac{1}{2}a^2\)

\(p_3=\frac{1}{4}a^2\)

\(p_4=(\frac{\sqrt{2}}{4}a)^2=\frac{2}{16}a^2=\frac{1}{8}a^2\)

\( ...\)

Pole wszystkich kwadratów jest równe:

\(P=p_1+p_2+p_3+...=a^2+\frac{1}{2}a^2 +\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{8}a^2+ ...=\)

\(= a^2+\frac{1}{2}a^2+a^2(\frac{1}{2})^2 +a^2(\frac{1}{2})^3+ ...\)

Otrzymaliśmy szereg geometryczny. (Zostawiliśmy dla zachowania spójności oznaczeń z kursem oznaczenie wyrazu ciągu \(a_1\), które wcześniej oznaczało długość boku. Teraz zmieniamy sens tego oznaczenia). Gdy porównamy powyższą sumę z definicją szeregu,

\(a_1+a_1q+a_1q^2+a_1q^3+...+a_1q^{n-1}+...\)

to widać, że:

\(a_1=a^2\)

\(q=\frac{1}{2}\)

Jeżeli \(|q|<1\) (a tak jest w naszym przypadku, bo \(q=\frac{1}{2}\)), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:

\(S=\frac{a_1}{1-q}\)

Zatem suma pól wszystkich kwadratów to nic innego jak suma szeregu geometrycznego. Możemy napisać, że:

\(P=S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{a^2}{1-\frac{1}{2}}=\frac{a^2}{\frac{1}{2}}=2a^2\)

ksiązki Odpowiedź

Pole powierzchni wszystkich kwadratów jest równe \(2a^2\).

© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-471

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijką trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość. Najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Obliczyć \(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie \(1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)

• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Zadanie 10, matura 2023, matematyka rozszerzona

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.