Zadanie maturalne nr 6, matura 2019 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Wielomian określony wzorem \(W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2−11x−2(2m+1)\) jest podzielny przez dwumian \((x−2)\) oraz przy dzieleniu przez dwumian \((x+1)\) daje resztę 6. Oblicz \(m\) oraz pierwiastki wielomianu \(W\) dla wyznaczonej wartości \(m\).
Rozwiązanie zadania
Dany jest wielomian:
\(W(x)=2x^3+(m^3+2)x^2−11x−2(2m +1)\)
Z warunków zadania wiemy, że wielomian dzieli się przez (x-2), co oznacza, że liczba 2 jest pierwiastkiem tego wielomiany W(2)=0.
Zatem:
\(W(2)=2\cdot 2^3+(m^3+2)\cdot 2^2−11\cdot 2−2(2m +1)=0\)
\(16+4(m^3+2)−22−4m -2=0\)
\(4m^3−4m=0\)
\(m^3−m=0\)
\(m(m^2−1)=0\)
\(m(m−1)(m+1)=0\)
Mamy zatem trzy rozwiązania: 0,1 i -1, dla których wielomian W(x) dzieli się przez (x-2) bez reszty.
Sprawdzamy teraz drugi warunek z treści zadania. Otóż wielomian W(x) dzieli się przez (x+1), dając resztę z dzielenia równą 6.
Z twierdzenia o reszcie z dzielenie wielomianu przez dwumian liniowy otrzymujemy W(-1)=6:
\(W(-1)=2\cdot (-1)^3+(m^3+2)\cdot (-1)^2−11\cdot (-1)−2(2m +1)=0\)
\(-2+m^3+2+11-4m-2-6=0\)
\(m^3-4m+3=0\)
Szukamy pierwiastków tego równani pomiędzy dzielnikami wyrazu wolnego:
\(W_m(1)=1-4+3=0\)
Wykonujemy dzielenie
\( \ (m^3-4m+3):(m-1)=m^2+m-3\)
\(\underline{-m^3+m^2}\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ m^2-4m+3\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-m^2+m}\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -3m+3\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{3m-3}\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\)
Mamy więc:
\(m-1)(m^2+m-3=0\)
\(m_1=1\)
\(\Delta=1+12=13\)
\(m_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\)
\(m_3=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\)
Dla tych wartości m nasz wielomian dzieli się przez (x+1) dając resztę 6.
Zauważamy, że tylko dla \(m=1\) nasz wielomian spełnia oba warunki podzielność bez reszty przez (x-2) i z resztą równą 6 przez (x+1).
Podstawiamy za m w naszym wielomianie wyznaczoną wartość:
\(W(x)=2x^3+(1^3+2)x^2−11x−2(2\cdot 1 +1)\)
\(W(x)=2x^3+3x^2−11x−6\)
Wiemy już, że jednym z pierwiastków naszego wielomianu jest liczba 2, zatem:
\( \ (2x^3+3x^2-11x-6):(x-2)=2x^2+7x+3\)
\(\underline{-2x^3+4x^2}\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 7x^2-11x-6\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-7x^2+14x}\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 3x-6\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \underline{-3x+6}\)
\( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\)
Mamy więc:
\(W(X)=(x-2)(2x^2+7x+3)\)
\(\Delta=49-4\cdot 2\cdot 3=25\)
\(x_1=\frac{-7-5}{4}=-3\)
\(x_2=\frac{-7+5}{4}=-\frac{1}{2}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-02-12, ZAD-4710
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Sprawdzić, czy liczby \(1, \sqrt{2}\) są pierwiastkami wielomianu
\(W(x)=\sqrt{2}x^5-2x^4-\sqrt{2}x^3+3x^2-2\sqrt{2}x+2\).
Zadanie nr 2.
Dla jakiej wartości parametru \(m\) pierwiastkiem wielomianu \(W(x)=mx^3-(m+1)x^2+x-1+m\) jest liczba 1?
Zadanie nr 3 — maturalne.
Dany jest wielomian \(W(x)=2x^3+ax^2−13x+b\). Liczba 3 jest jednym z pierwiastków tego wielomianu. Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez (x+2) jest równa 20. Oblicz współczynniki \(a\) i \(b\) oraz pozostałe pierwiastki wielomianu \(W(x)\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Wielomian W określony wzorem \(W(x)=x^{2019}−3x^{2000}+2x+6\)
A. jest podzielny przez \((x−1)\) i z dzielenia przez \((x+1)\) daje resztę równą \(6\).
B. jest podzielny przez \((x+1)\) i z dzielenia przez \((x−1)\) daje resztę równą \(6\).
C. jest podzielny przez \((x−1)\) i jest podzielny przez \((x+1)\.
D. nie jest podzielny ani przez \((x−1)\), ani przez \((x+1)\).