Zadanie maturalne nr 7, matura 2019 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).
Rozwiązanie zadania
Dane jest równanie:
\(\cos{2x}=\sin{x}+1\)
skorzystamy ze wzoru:
\(\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}=1-\sin^2{x}-\sin^2{x}=1-2\sin^2{x}\)
Mamy więc:
\(1-2\sin^2{x}=\sin{x}+1\)
Stosujemy podstawienie
\(t=\sin{x}\)
\(1-2t^2=t+1\)
\(-2t^2-t=0/\cdot (-1)\)
\(2t^2+t=0\)
\(2t(t+\frac{1}{2})=0\)
\(\sin{x}=0 \vee \sin{x}=-\frac{1}{2}\)
Sporządzamy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji \(y=sinx\), \(y=0\) i \(y=-\frac{1}{2}\) i szukamy punktów wspólnych w zadanym przedziale od 0 do \(2\pi\) włącznie.
Otrzymujemy rozwiązanie:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-02-19, ZAD-4713
Zadania podobne
Zadanie nr 7.
Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie nr 11 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.