Zadanie maturalne nr 9, matura 2019 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m +1)x^2+(m+2)x+m−3\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \((x_1- x_2)^2+5x_1x_2 \geq 1\).
Rozwiązanie zadania
Rozwiązujemy równanie kwadratowe:
\(f(x)=(2m+1)x^2+(m_2)x+m-3\)
Warunek 1
Współczynnik przy \(x^2\) musi być różny od zera, aby mieć do czynienia z równaniem kwadratowym.
\(2m+1\neq 0\)
\(2m\neq -1/:2\)
\(m\neq -\frac{1}{2}\)
Warunek 2
Aby funkcja kwadratowa miała dwa różne pierwiastki, jej wyróżnik kwadratowy musi być dodatni.
\(\Delta>0\)
\((m+2)^2-4(2m+1)(m-3)>0\)
\(m^2+4m+4-4(2m^2-6m+m-3)>0\)
\(m^2+4m+4-8m^2+20m+12>0\)
\(-7m^2+24m+16>0\)\
\(\Delta_m=24^2-4\cdot16\cdot (-7)=1024\)
\(\sqrt{1024}=32\)
\(m_1=\frac{-24-32}{-14}=4\)
\(m_1=\frac{-24+32}{-14}=-\frac{4}{7}\)
\(x\in (-4;\frac{4}{7})\)
Warunek 3
Aby był spełniony ostatni warunek zadania, skorzystamy z wzorów Viete'a. Jednak najpierw przekształcimy nieco ten warunek:
\((x_1^2-x_2^2)^2+5x_1x_2\geq 0\)
\(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+2x_1x_2+3x_1x_2\geq 0\)
\(x_1^2+2x_1x_2+x_2^2+x_1x_2\geq 0\)
\((x_1+x_2)^2+x_1x_2\geq 0\)
Przypomnijmy wzory Viete'a:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot{x_2}=\frac{c}{a}\)
Mamy więc:
\((\frac{-(m+2)}{2m+1})^2+\frac{m-3}{2m+1}-1\geq 0\)
\(\frac{(m+2)^2}{(2m+1)^2}+\frac{(m-3)(2m+1)}{(2m+1)^2}-\frac{(2m+1)^2}{(2m+1)^2}\geq 0\)
\(\frac{m^2+4m+4+2m^2-6m+m-3-4m^2-4m-1}{(2m+1)^2}\geq 0\)
\(\frac{-m^2-5m}{(2m+1)^2}\geq 0\)
\((-m^2-5m)(2m+1)^2\geq 0\)
\(-m(m+5)(2m+1)^2\geq 0\)
\(x\in \langle -5;-\frac{1}{2})\cup (-\frac{1}{2};0\rangle \)
Łączymy wszystkie trzy warunki w jeden:
\(m\neq -\frac{1}{2}\) i \(x\in (-4;\frac{4}{7})\) i \(x\in \langle -5;-\frac{1}{2})\cup (-\frac{1}{2};0\rangle \)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-02-19, ZAD-4724
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 2.
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego \(x^2-x+m=0\) jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 3.
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego \(x^2+dx+1=0\) jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 4.
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \(\frac{17}{4}\), a suma odwrotności pierwiastków jest równa \(\frac{3}{2}\).
Zadanie nr 5.
Rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2+mx-3=0\), jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(4x^2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\), przy czym \(x_1<x_2\), spełniające warunek \((4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Dane jest równanie kwadratowe \(x^2−(3m+2)x+2m^2+7m−15=0\) z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\)tego równania istnieją i spełniają warunek \(2x^2_1+5x_1x_2+2x^2_2=2\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-(m+1)x+m=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1\neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\neq 2\), dla których równanie
\(x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) spełniające warunek \(x_1^3+x_2^3>-28\). Zapisz obliczenia.