Zadanie - szereg geometryczny - suma szeregu
Treść zadania:
Obliczyć \(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...\).
Rozwiązanie zadania
Do obliczenia tej sumy wykorzystamy właściwości szeregu geometrycznego. Musimy jednak tę sumę doprowadzić do właściwej postaci:
Wykonujemy przekształcenia:
\(\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+...=\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...\)
Gdy porównamy naszą sumę ze wzorem ogólnym na szereg geometryczny, to widać, że mamy iloraz \(q=\frac{1}{4}\), brakuje nam jednak wyrazu \(a_1\). Zawsze jednak możemy do tej sumy dodać liczbę 0, która nie zmieni wyniku, a pozwoli nam zastosować pewne własności szeregu geometrycznego:
\(\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...= 0+\frac{1}{4}+(\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^3+...=\)
\(=-1+1+1\cdot \frac{1}{4}+1\cdot (\frac{1}{4})^2+1\cdot (\frac{1}{4})^3+...\)
Zaznaczony fragment, to szereg geometryczny, w którym:
\(a_1=1\)
\(q=\frac{1}{4}\)
Jeżeli \(|q|<1\) (a tak jest w naszym przypadku), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:
Możemy więc zapisać:
\(-1+1+1\cdot \frac{1}{4}+1\cdot (\frac{1}{4})^2+1\cdot (\frac{1}{4})^3+...=-1+\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\)
\(=-1+\frac{1}{\frac{3}{4}}=-1+\frac{4}{3}=\frac{1}{3}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2009-12-31, ZAD-473
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).
Zadanie nr 4.
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.
Zadanie nr 5.
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijką trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość. Najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?
Zadanie nr 6.
Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).
Zadanie nr 7.
Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).
Zadanie nr 9.
Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?
Zadanie nr 10 — maturalne.
Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)
• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.