Zadanie - szereg geometryczny
Treść zadania:
Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).
Rozwiązanie zadania
Do obliczenia tej sumy wykorzystamy właściwości szeregu geometrycznego. Musimy jednak tę sumę doprowadzić do właściwej postaci:
Wykonujemy przekształcenia:
\(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...=1+1\cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})+1\cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2+1\cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^3+...\)
Otrzymaliśmy szereg geometryczny, w którym:
\(a_1=1,\ q=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Jeżeli \(|q|<1\) (a tak jest w naszym przypadku), to szereg geometryczny jest zbieżny i ma sumę, która jest równa:
Możemy więc zapisać:
\(S=\frac{1}{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}= \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}} =\frac{1}{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}} =\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}=\)
\(=\frac{ \sqrt{2}(\sqrt{2}-1) }{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{2-\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2-1^2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2-1}=2-\sqrt{2}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-01, ZAD-474
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).
Zadanie nr 4.
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.
Zadanie nr 5.
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijką trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość. Najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?
Zadanie nr 7.
Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).
Zadanie nr 9.
Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?
Zadanie nr 10 — maturalne.
Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)
• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.