Nauka » Matematyka » Szereg geometryczny

Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu

Treść zadania:

Rozwiązać równanie $5 + \frac{5}{x} + \frac{5}{x^{2}} + \frac{5}{x^{3}} + . . . = 10$ .

Rozwiązanie zadania

Do obliczenia sumy, która występuje po lewej stronie równania, wykorzystamy właściwości szeregu geometrycznego.

a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{3} + . . . + a_{1} q^{n - 1} + . . .

Aby doprowadzić sumę po lewej stronie równania do powyższej postaci, wykonujemy niewielkie przekształcenia:

$5 + 5 \cdot \frac{1}{x} + 5 \cdot (\frac{1}{x})^{2} + 5 \cdot (\frac{1}{x})^{3} + . . . = 10$

Mamy więc do czynienia z szeregiem geometrycznym, w którym:

$a_{1} = 5$

$q = \frac{1}{x}$

W naszym równaniu suma nieskończenie wielu składników jest równa $10$ . Szereg musi być zatem zbieżny. Warunkiem zbieżności szeregu geometrycznego jest $| q | < 1$ , czyli $| \frac{1}{x} | < 1$ . Suma szeregu geometrycznego zbieżnego jest równa:

S = \frac{a_{1}}{1 - q}

Możemy więc zastąpić całą lewą stronę równania powyższym wzorem:

$S = \frac{5}{1 - \frac{1}{x}} = 10 / : 5$

$\frac{1}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}} = 2$

$\frac{1}{\frac{x - 1}{x}}$

$\frac{x}{x - 1} - 2 = 0$

$\frac{x}{x - 1} - \frac{2 (x - 1)}{x - 1} = 0$

$\frac{x - 2 x + 2}{x - 1} = 0$

$- x + 2 = 0$

$x = 2$

Ponieważ $| \frac{1}{x} | = \frac{1}{2} < 1$ więc $x = 2$ jest rozwiązaniem równania.

Odpowiedź

x = 2

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Zamienić liczbę 0,24(7) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Zamienić liczbę 0,(13) na ułamek zwykły.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie $c \in {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijką trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość. Najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Obliczyć $\frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + . . .$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Obliczyć $1 - \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \sqrt{2}} + . . .$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie $1 + x + x^{2} + x^{3} + . . = \frac{8}{7}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Dla jakich wartości parametru $x$ szereg geometryczny $1 + x^{3} + x + 1 + (x^{3} + x + 1)^{2} + (x^{3} + x + 1)^{3} + . . .$ jest zbieżny?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Określamy kwadraty $K_{1}, K_{2}, K_{3}, . . .$ następująco:
• $K_{1}$ jest kwadratem o boku długości $a$ .
• $K_{2}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{1}$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$ .
• $K_{3}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{2}$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$ .

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej $n \geq 2$

• $K_{n}$ jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu $K_{n} - 1$ i dzieli ten bok w stosunku $1 : 3$ .

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

Zadanie 10, matura 2023, matematyka rozszerzona

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.