Zadanie - zastosowanie szeregu geometrycznego, suma szeregu
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).
Rozwiązanie zadania
Do obliczenia sumy, która występuje po lewej stronie równania, wykorzystamy właściwości szeregu geometrycznego.
Aby doprowadzić sumę po lewej stronie równania do powyższej postaci, wykonujemy niewielkie przekształcenia:
\(5+5\cdot \frac{1}{x}+5\cdot (\frac{1}{x})^2+5\cdot (\frac{1}{x})^3+...=10\)
Mamy więc do czynienia z szeregiem geometrycznym, w którym:
\(a_1=5\)
\(q=\frac{1}{x}\)
W naszym równaniu suma nieskończenie wielu składników jest równa \(10\). Szereg musi być zatem zbieżny. Warunkiem zbieżności szeregu geometrycznego jest \(|q|<1\), czyli \(|\frac{1}{x}|<1\). Suma szeregu geometrycznego zbieżnego jest równa:
Możemy więc zastąpić całą lewą stronę równania powyższym wzorem:
\(S=\frac{5}{1-\frac{1}{x}}=10/:5\)
\(\frac{1}{\frac{x}{x}-\frac{1}{x}}=2\)
\(\frac{1}{\frac{x-1}{x}}\)
\(\frac{x}{x-1}-2=0\)
\(\frac{x}{x-1}-\frac{2(x-1)}{x-1}=0\)
\(\frac{x-2x+2}{x-1}=0\)
\(-x+2=0\)
\(x=2\)
Ponieważ \(|\frac{1}{x}|=\frac{1}{2}<1\) więc \(x=2\) jest rozwiązaniem równania.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-01, ZAD-475
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).
Zadanie nr 4.
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.
Zadanie nr 5.
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijką trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość. Najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?
Zadanie nr 7.
Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).
Zadanie nr 9.
Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?
Zadanie nr 10 — maturalne.
Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)
• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.