Zadanie maturalne nr 28, matura 2020
Treść zadania:
Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a− 2b)+2b^2>0\).
Rozwiązanie zadania
\(a(a-2b)+2b^2>0\)
\(a^2-2ab+2b^2>0\)
\((a^2-2ab+b^2)+b^2>0\)
\((a-b)^2+b^2>0\)
Składnik \((a-b)>0\) dla każdej wartości a i b, gdyż kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny i jest dodatni dla różnych liczb a i b (a tak wynika z warunków zadania). Zaś składnik \(b^2>0\) jest zawsze nieujemny z tego samego powodu. Suma liczby dodatniej i nieujemnej jest liczbą dodatnią, co kończy dowód.
© medianauka.pl, 2023-03-04, ZAD-4759
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=\frac{x}{2}-3\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie nr 2.
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=5-x\) jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a,b\) i \(c\) takich, że \(a<b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b}<\frac{(a+c)}{(b+c)}\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność \(\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2\).
Zadanie nr 5 — maturalne.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x>y\), spełniona jest nierówność \(7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Liczby rzeczywiste \(x\) oraz \(y\) spełniają jednocześnie równanie \(x+y=4\) i nierówność \(x^3-x^2y\leq xy^2-y^3\). Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).