Zadanie - szereg geometryczny - równanie
Treść zadania:
Rozwiązać równanie \(1+x+x^2+x^3+..=\frac{8}{7}\).
Rozwiązanie zadania
Do obliczenia sumy, która występuje po lewej stronie równania (patrz — podkreślenie) wykorzystamy właściwości szeregu geometrycznego. (\(\underline{1+x+x^2+x^3+..}=\frac{8}{7}\))
Po lewej stronie równania mamy więc do czynienia wprost z szeregiem geometrycznym, w którym:
\(a_1=1\)
\(q=x\)
W danym równaniu suma nieskończenie wielu składników jest równa \(\frac{8}{7}\). Szereg musi być zatem zbieżny. Warunkiem zbieżności szeregu geometrycznego jest \(|q|=|x|<1\). Suma szeregu geometrycznego zbieżnego jest równa:
Możemy więc zastąpić całą lewą stronę równania powyższym wzorem:
\(S=\frac{1}{1-x}=\frac{8}{7}\)
\(\frac{1}{1-x}-\frac{8}{7}=0\)
\(\frac{7}{7(1-x)}-\frac{8(1-x)}{7(1-x)}=0\)
\(\frac{7-8(1-x)}{7(x-1)}=0\)
\(7-8+8x=0\)
\(8x=1/:8\)
\(x=\frac{1}{8}\)
Ponieważ \(|q|=|x|=\frac{1}{8}<1\), więc \(x=\frac{1}{8}\) jest rozwiązaniem równania.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-01, ZAD-476
Zadania podobne
Zadanie nr 3.
Zamienić liczbę 0,(c) na ułamek zwykły, gdzie \(c\in \lbrace 1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace\).
Zadanie nr 4.
Środki kwadratu o boku długości a połączono ze sobą. W ten sposób został utworzony kwadrat, którego środki boków znów połączono ze sobą i tak dalej. Obliczyć pole powierzchni wszystkich utworzonych w ten sposób figur geometrycznych.
Zadanie nr 5.
Nieskończenie wiele odcinków, każdy o długości stanowiącej 1/3 długości poprzedniego, ustawiono w linii prostej jeden za drugim. Jakiej długości linijką trzeba dysponować, aby zmierzyć ich łączną długość. Najdłuższy odcinek ma długość 5 cm?
Zadanie nr 7.
Obliczyć \(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}+...\).
Zadanie nr 8.
Rozwiązać równanie \(5+\frac{5}{x}+\frac{5}{x^2}+\frac{5}{x^3}+...=10\).
Zadanie nr 9.
Dla jakich wartości parametru \(x\) szereg geometryczny \(1+x^3+x+1+(x^3+x+1)^2+(x^3+x+1)^3+...\) jest zbieżny?
Zadanie nr 10 — maturalne.
Określamy kwadraty \(K_1, K_2, K_3, ...\) następująco:
• \(K_1\) jest kwadratem o boku długości \(a\).
• \(K_2\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
• \(K_3\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_2\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 2\)
• \(K_n\) jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu \(K_n-1\) i dzieli ten bok w stosunku \(1:3\).
Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.
Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu. Zapisz obliczenia.