Zadanie maturalne nr 29, matura 2020
Treść zadania:
Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\).
Rozwiązanie zadania
Na podstawie cechy kąt-kąt-kąt możemy stwierdzić, że trójkąty DBC i EFC są podobne (oba mają po kącie prostym i miara kata ∠DCB i ∠ECF jest taka sama). Stąd:
\(\frac{|BC|}{|CE|}=\frac{|CD|}{|CF|}\)
Oznaczmy przez \(a=|BC|\). Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
\(|CD|^2+(\frac{1}{2}a)^2=a^2\)
\(|CD|^2=a^2-\frac{1}{4}a^2\)
\(|CD|^2=\frac{3}{4}a^2\)
\(|CD|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Obliczamy najpierw lewą stronę naszej proporcji:
\(\frac{|BC|}{|CE|}=\frac{a}{\frac{3}{4}|CD|}=\frac{a}{\frac{3}{4}|CD|}=\frac{a}{\frac{3}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\frac{3\sqrt{3}}{8}}=\frac{8\sqrt{3}}{9}=k\)
Druga strona proporcji:
\(\frac{|CD|}{|CF|}=k\)
\(|CF|=\frac{|CD|}{k}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{\frac{8\sqrt{3}}{9}}=\frac{9}{16}a=\frac{9}{16}|CB|\)
Co należało wykazać.
© medianauka.pl, 2023-03-05, ZAD-4762
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość
A. 8
B. 8,5
C. 9,5
D. 10
Zadanie nr 2 — maturalne.
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że \(|\angle DEC|=|\angle BGF|=90°\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).
Zadanie nr 3 — maturalne.
Jeżeli trójkąty \(ABC\) i \(A'B'C'\) są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2 i 50 cm2, to skala podobieństwa \(\frac{A'B'}{AB}\) jest równa:
A. \(2\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\sqrt{2}\)
D. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Zadanie nr 4 — maturalne.
W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AB\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AC\), a ponadto \(|BD|=10, |BC|=12\) i \(|AC|=24\) (zobacz rysunek).
A. \(m=22\)
B. \(m=20\)
C. \(m=12\)
D. \(m=11\)
Długość odcinka DE jest równa
Zadanie nr 5 — maturalne.
Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}. 4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości:
A. \(10, 15, 20\)
B. \(20, 45, 80\)
C. \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\)
D. \(\sqrt{5}, 2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}\)
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek).
Wtedy
A. \(|OK|=6\)
B. \(|OK|=8\)
C. \(|OK|=10\)
D. \(|OK|=12\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Trójkąt równoboczny \(ABC\) ma pole równe \(9\sqrt{3}\). Prosta równoległa do boku \(BC\) przecina boki \(AB\) i \(AC\) — odpowiednio — w punktach \(K\) i \(L\). Trójkąty \(ABC\) i \(AKL\) są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \(\frac{3}{2}\). Oblicz długość boku trójkąta \(AKL\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta \(BAC\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Trójkąty prostokątne \(T_1\) i \(T_2\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_1\) mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta \(T_2\) ma długość 26. Oblicz pole trójkąta \(T_2\). Zapisz obliczenia.