zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 32, matura 2020

Treść zadania:

Dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=(5, -\frac{5}{3})\). Przekątna \(BD\) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu \(y =\frac{4}{3}x\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) oraz pole kwadratu \(ABCD\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządźmy rysunek poglądowy:

Rysunek do zadania 32, matura 2020

Przekątna przechodząca przez punkty A i C jest prostopadła do przekątnej zawartej w prostej o równaniu \(y=\frac{4}{3}x\). Dwie proste prostopadłe mają przeciwne i odwrotne współczynniki kierunkowe prostej, stąd równanie prostej AC ma postać:

\(y=-\frac{3}{4}x+b\)

Do prostej tej należy punkt A, którego współrzędne są znane i spełniają równanie szukanej prostej:

\(\frac{5}{3}=-\frac{3}{4}\cdot 5 + b\)

\(\frac{20}{12}=-\frac{45}{12} + b\)

\(b=\frac{25}{12}\)

Szukamy współrzędnych punktu O. Wystarczy rozwiązać układ równań:

\(\begin{cases}y=\frac{4}{3}x/\cdot (-12) \\ y=-\frac{3}{4}x+\frac{25}{12}/\cdot 12 \end{cases}\)

\(\begin{cases}-12y=-16x \\ 12y=-9x+25\end{cases}\)

Dodajemy stronami równania:

\(0=-25x+25\)

\(x=1\)

\( y=\frac{4}{3}\)

\(O=(1,\frac{4}{3})\)

Obliczymy teraz pole kwadratu. Mamy dane dwa punkty, które należą do przekątnej kwadratu. Obliczamy długość odcinka |AO|:

\(|AO|=\sqrt{(1-5)^2+(\frac{4}{3}+\frac{5}{3})^2}=\sqrt{16+9}=5\)

Ponieważ przekątna kwadratu o boku a ma długość \(a\sqrt{2}\), to

\(|AC|=a\sqrt{2}=2|AO|\)

\(a\sqrt{2}=2\cdot 5\)

\(a=\frac{10}{\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\)

\(P=a^2=(5\sqrt{2})^2=50\)

ksiązki Odpowiedź

\(O=(1,\frac{4}{3}), P=50\)

© medianauka.pl, 2023-03-06, ZAD-4765

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Na kole o promieniu \(r=5\) opisano kwadrat. Oblicz jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole kwadratu \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(A=(3,0), B=(4,2), C=(2,3), D=(1,1)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Na obszarze w kształcie kwadratu o powierzchni 1 ha organizowany jest koncert. Przyjmuje się, że na dany obszar można wpuścić tyle ludzi, że na każdego przypada 1 m2 wolnej powierzchni. Jaki przychód z koncertu będą mieli organizatorzy, jeśli zostaną sprzedane wszystkie bilety, których cena wynosi 30 zł?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Środki kwadratu o boku \(a=10\) połączono tak, że powstał w środku mniejszy kwadrat. Oblicz jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Przekątna kwadratu pokrywa się z ramieniem trójkąta równoramiennego o polu równym 16. Oblicz pole kwadratu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Punkt \(A=(3,−5)\) jest wierzchołkiem kwadratu \(ABCD\), a punkt \(M=(1,3)\) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu \(ABCD\) jest równe

A. \(68\)

B. \(136\)

C. \(2\sqrt{34}\)

D. \(8\sqrt{34}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.