Zadanie maturalne nr 5, matura 2020 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) jest 3 razy dłuższy od boku \(AC\), a długość boku BC stanowi \(\frac{4}{5}\) długości boku \(AB\). Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta \(ABC\).
W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Rozwiązanie zadania
Sporządzamy schematyczny rysunek z oznaczeniami.
Skorzystamy z twierdzenia cosinusów:
\(a^2=c^2+b^2-2bc\cos{\alpha}\)
\(a^2=(\frac{12}{5}a)^2+(3a)^2-2\cdot \frac{12}{5}a \cdot 3a\cdot \cos{\alpha}\)
\(a^2=\frac{144}{25}a^2+9a^2-\frac{72}{5}a^2\cos{\alpha}\)
\(\frac{144}{25}a^2+8a^2-\frac{72}{5}a^2\cos{\alpha}=0/\cdot 25\)
\(144a^2+200a^2-360a^2\cos{\alpha}=0\)
\(344a^2-360a^2\cos{\alpha}=0\)
\(344a^2(1-\frac{360}{344}\cos{\alpha})=0\)
Ponieważ \(a \neq 0\), to
\(1-\frac{360}{344}\cos{\alpha}=0\)
\(\frac{360}{344}\cos{\alpha}=1\)
\(\cos{\alpha}=\frac{344}{360}\)
\(\cos{\alpha}=0,9(5)\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-03-08, ZAD-4773
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
W trójkącie dane są dwa boki \(a=40, b=35\) i kąt leżący naprzeciwko większego boku \(\alpha=45°\). Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.
Zadanie nr 2 — maturalne.
Długości boków czworokąta \(ABCD\) są równe: \(|AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5\). Na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej \(AC\) tego czworokąta.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach \(\frac{\pi}{3}\) i \(\alpha\). Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy \(\frac{\sqrt{6}}{4}\). Wyznacz miarę kąta \(\alpha\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Punkt \(D\) leży na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) oraz \(|AC|=16, |AD|=6, |CD|=14\) i \(|BC|=|BD|\). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).
Zadanie nr 5 — maturalne.
Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o 2 mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2+|CP|^2−|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ABC|=90°\) oraz \(|\angle CAB|=60°\). Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach – odpowiednio – \(AB\) i \(BC\) tak, że \(|BK|=|BL|=1\) (zobacz rysunek). Odcinek \(KL\) przecina wysokość \(BD\) tego trójkąta w punkcie \(N\), a ponadto \(|AD|=2\).
Wykaż, że \(|ND|=\sqrt{3}+1\).