zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 6, matura 2020 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których równanie \(|x−5|=(a−1)^2−4\) ma dwa różne rozwiązania dodatnie.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej rozważamy dwa przypadki:

Przypadek 1

\(x-5\geq 0\)

\(x\geq 5\)

Wówczas możemy opuścić wartości bezwzględne w naszym równaniu.

\(x-5=(a-1)^2-4\)

\(x=(a-1)^2+1\)

Rozwiązania, czyli \(x\) musi być dodatnie:

\((a-1)^2+1>0\)

\(a^2-2a+1+1>0\)

\(a^2-2a+2>0\)

\(\Delta=4-8<0\)

Delta jest ujemna, współczynnik przy \(a^2\) jest dodatni, więc mamy do czynienia z przypadkiem na pierwszym rysunku. Szukamy wartości dodatnich, więc: \(a\in \mathbb{R}\).

Rysunek 1.

wykres trójmianu kwadraowego

Pamiętajmy jednak, że rozpatrujemy przypadek w którym \(x\geq 5\). zatem:

\(x=(a-1)^2+1\geq 5\)

\(a^2-2a+1+1-5\geq 0\)

\(a^2-2a-3\geq 0\)

\(\Delta=4+12=16\)

\(a_1=\frac{2-4}{2}=-1\)

\(a_2=\frac{2+4}{2}=3\)

Mamy deltę większą od zera i ramiona paraboli są skierowane ku górze i szukamy wartości dodatnich. Zatem:

\(a\in(-\infty;-1⟩\cup⟨3;+\infty)\)

Przypadek 2

\(x-5<0 0\)

\(x< 5\)

Wówczas możemy opuścić wartości bezwzględne w naszym równaniu. ale ze zmianą znaku.

\(-x+5=(a-1)^2-4\)

\(-x=(a-1)^2-9\)

\(x=9-(a-1)^2\)

Rozwiązania, czyli \(x\) musi być dodatnie:

\(9-(a-1)^2>0\)

\(-a^2+2a+8>0\)

\(\Delta=4+32=36\)

\(a_1=\frac{-2-6}{-2}=4\)

\(a_2=\frac{-2+6}{-2}=-2\)

Ramiona paraboli są skierowane w dół (współczynnik przy \(a^2\) jest ujemny i mamy dwa pierwiastki, szukamy zaś wartości dodatnich. Mamy wić przypadek szósty z Rysunku 1.

\(a\in(-2;4)\)

Pamiętaj<\geq 5\). zatem:

\(x=-(a-1)^2+9< 5\)

\(-(a-1)^2+4<0/\cdot (-1)\)

\((a-1)^2-4>0\)

\((a-1-2)(a-1+2)>0\)

\((a-3)(a+1)>0\)

\(a_1=-1\)

\(a_2=3\)

Zatem

\(a\in(-\infty;-1)\cup (3;+\infty)\)

Uwzględniając wynik \(a\in(-2;4)\) mamy:

\(a\in(-2;-1)\cup (3;4)\)

Rysunek

Podsumowanie

Uwzględniając przypadek 1 i 2 mamy:

\(a\in(-2;-1)\cup (3;4)\)

ksiązki Odpowiedź

\(a\in(-2;-1)\cup (3;4)\)

© medianauka.pl, 2023-03-09, ZAD-4774

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie \(|x+1|-|x-1|=5\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać nierówność \(2-|x+1|>3+x\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać nierówność \(|2x+1|>3\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie \(|-3x+1|=2x+4\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie \(\frac{|x|}{3}-1=2x\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Dany jest wektor \(\vec{AB}=[2,5]\) zaczepiony w punkcie \(A=(1,1)\). Znaleźć taki punkt \(C\), leżący na prostej \(y=2\), że pole trójkąta \(ABC\) jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Dana jest funkcja \(f\) określona wzorem

\(f(x)=\begin{cases}x-2 \quad dla \quad x\leq0\\||x+3|-4| \quad dla \quad x>0 \end{cases}\).

Równanie \(f(x)=1\) ma dokładnie

A. jedno rozwiązanie.

B. dwa rozwiązania.

C. cztery rozwiązania.

D. pięć rozwiązań.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3|x+2|=|x−3|+11\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Liczba różnych pierwiastków równania \(3x+|x-4|=0\) jest równa

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Rozwiąż równanie: \(|x−3|=2x+11\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.