Zadanie maturalne nr 7, matura 2020 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|=6\), a punkt \(D\) jest środkiem podstawy \(AB\). Okrąg o środku \(D\) jest styczny do prostej \(AC\) w punkcie \(M\). Punkt \(K\) leży na boku \(AC\), punkt \(L\) leży na boku \(BC\), odcinek \(KL\) jest styczny do rozważanego okręgu oraz \(|KC|=|LC|=2\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że \(\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{4}{5}\).
Rozwiązanie zadania
Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia na rysunku.
Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że odcinek KL jest równoległy do odcinka AB.
|CP| = x.
Trójkąty CKP i CAD są podobne (jest spełniona cecha kąt-kąt-kąt). Skala podobieństwa wynosi w skali 2:6 = 1:3. Zatem |PD| = 2x i |MD| = 2x.
Trójkąty CPK i CMD są również trójkątami podobnymi (cecha kąt-kąt-kąt). Na tej podstawie mamy:
\(\frac{|PK|}{|CK|}=\frac{|MD|}{|CD|}\)
\(\frac{|PK|}{2}=\frac{2x}{3x}\)
\(\frac{|PK|}{2}=\frac{2}{3}/cdot 2\)
\(|PK|=\frac{4}{3}\)
Trójkąty PCK i ADM są podobne (cecha kkk), stąd:
\(\frac{|AM|}{|MD|}=\frac{|PK|}{|CP|}\)
\(\frac{|AM|}{2x}=\frac{\frac{4}{3}}{x}\)
Zaś \(|AM|=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}\)
Ostatecznie:
\(\frac{|AM|}{|MC|}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{10}{3}}=\frac{4}{5}\)
To kończy dowód.
© medianauka.pl, 2023-03-10, ZAD-4777
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Podstawy trapezu mają długości 5 i 9, a ramiona 5 i \(\sqrt{41}\). Obliczyć obwód trójkąta utworzonego z podstawy trapezu i przedłużenia ramion tego trapezu.
Zadanie nr 2.
Prosta równoległa do boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) przecina bok \(AC\) w punkcie \(D\) oraz bok \(BC\) w punkcie \(E\). Obliczyć:
a) \(|AC|\), jeżeli \(|CD|=32, |CE|=24,|BC|=48\)>
b) \(|CD|\), jeżeli \(|CE|=6, |BE|=10, |AC|=24\)
Zadanie nr 3.
Dane są odcinki o długościach: \(a, b, c\). Opisać sposób konstrukcji odcinka \(d\) o długości:
a) \(d=\frac{ab}{c}\)
b) \(d=\frac{b^2}{a}\)