Zadanie maturalne nr 9, matura 2020 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).
Rozwiązanie zadania
Mamy równanie trygonometryczne:
\(3\cos{2x}+10\cos^2{x}=24\sin{x}-3\).
skorzystamy z tożsamości trygonowemtrycznych:
\(\cos{2x}=\cos^2{x}-\sin^2{x}\) oraz \(\sin^2+\cos^2{x}=1\).
Mamy więc:
\(3(\cos^2{x}-\sin^2{x})+10(1-\sin^2{x})=24\sin{x}-3\)
\(3(1-\sin^2{x})-3\sin^2{x}+10-10\sin^2{x}-24\sin{x}+3=0\)
\(-16\sin^2{x}-24\sin{x}+16=0/:(-8)\)
\(2\sin^2{x}+3\sin{x}-2=0\)
Robimy podstawienie:
\(t=\sin{x}\)
Mamy więc:
\(2t^2+3t-2=0\)
\(\Delta=9+16=25\)
\(\sqrt{\Delta}=5\)
\(t_1=\frac{-3-5}{4}=\frac{-8}{4}=-2\)
\(t_2=\frac{-3+5}{4}=\frac{1}{2}\)
Otrzymujemy równania elementarne: pierwsze: \(\sin{x}=-2\), które nie ma rozwiązania oraz \(\sin{x}=\frac{1}{2}\), które w przedziale \(⟨0, 2π⟩\) ma dwa rozwiązania:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-03-11, ZAD-4779
Zadania podobne
Zadanie nr 7.
Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie nr 11 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\) w przedziale \(\langle 0; \pi \rangle\).
Zadanie nr 13 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.