Zadanie - obliczanie granic ciągów

Treść zadania:

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Ponieważ granica sumy jest równa sumie granic, możemy napisać:

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=\lim_{n\to\infty}\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-\lim_{n\to\infty}5=...\)

Aby obliczyć granicę pierwszego ciągu, dzielimy licznik i mianownik przez największą potęgę \(n\), występującą w mianowniku i otrzymujemy:

\(=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{-\frac{n^2}{n^2}-\frac{4n}{n^2}+\frac{1}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} +\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5=\lim_{n\to\infty}\frac{-1-\frac{4}{n}+\frac{1}{n^2}}{1+\frac{2}{n^2}}-\lim_{n\to\infty}5=\frac{-1-0+0}{1+0}-5=-1-5=-6\)

Skąd się wzięły te liczby?

Otóż w przypadku ciągu stałego mamy \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a)=a\), więc:

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}5=5\)

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(-1)=-1\)

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}1=1\)

Korzystając z granicy \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{k}{n}=0,\ k\in \mathbb{R}\) oraz granicy iloczynu ciągów otrzymujemy:

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n}=0\)

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=\lim_{n\to\infty}(\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0=0\)

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^2}=\lim_{n\to\infty}(\frac{2}{n}\cdot \frac{1}{n})=0\cdot 0=0\)

ksiązki Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)=-6\)

© medianauka.pl, 2010-01-01, ZAD-478

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}5^n=\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Wykazać na podstawie definicji, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że

A. \(p=-8\)

B. \(p=4\)

C. \(p=2\)

D. \(p=-2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Oblicz granicę \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})\). W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Granica tego ciągu jest równa

A. \(3\).

B. \(\frac{1}{5}\).

C. \(\frac{3}{5}\).

D. \(-\frac{5}{11}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Oblicz granicę

Zadanie 5, matura 2021.

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po
przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Rys

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) wzorem \(a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \(a_n\) jest równa \(\frac{4}{3}\). W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.