Zadanie maturalne nr 10, matura 2020 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
W trzywyrazowym ciągu geometrycznym \((a_1, a_2, a_3)\) spełniona jest równość \(a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}\). Wyrazy \(a_1, a_2, a_3\) są — odpowiednio — czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego. Oblicz \(a_1\).
Rozwiązanie zadania
Z warunków zadania wynika, że:
\(a_1+a_2+a_3=\frac{21}{4}\).
Ciąg ten jest ciągiem geometrycznym o ilorazie \(q\). Zatem kolejne wyrazy ciągu można wyrazić przez \(a_1\) i \(q\).
\(a_1\)
\(a_2=a_1q\)
\(a_3=a_1q^2\)
Zatem
\(a_1+a_1 q+a_1q^2=\frac{21}{4}\) (wzór 1).
Mamy też ciąg arytmetyczny o wyrazach \((b_1,b_2,b_3,b_4)\). Między wyrazami ciągu arytmetycznego i geometrycznego zgodnie z treścią zadania zachodzą związki:
\(b_1=a_3=a_1q^2\)
\(b_2=a_2=a_1q\)
\(b_4=a_1\)
Czwarty wyraz ciągu arytmetycznego możemy obliczyć ze wzoru:
\(b_4=b_1+3r\),
Różnica ciągu arytmetycznego wynosi:
\(r=b_2-b_1=a_1q-a_1q^2\).
Zatem:
\(b_4=a_1=b_1+3r=a_1q^2+3(a_1q-a_1q^2)\)
\(a_1=a_1q^2+3a_1q-3a_1q^2\)
\(a_1-3a_1q+2a_1q^2=0\)
\(a_1(1-3q+2q^2)=0\)
Ponieważ \(a_1\neq 0 \) (wyrazy ciągu geometrycznego nie mogą być równe zeru), to:
\(1-3q+2q^2=0\)
\(\Delta=9-8=1\)
\(q_1=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\)
\(q_2=\frac{3+1}{4}=1\)
Dla q=1 mamy ciąg geometryczny stały, a więc nie spełnia warunków zadania. Bierzemy pod uwagę \(q=\frac{1}{2}\):
\(r=a_1q-a_1q^2=\frac{2a_1}{4}+\frac{a_1}{4}=\frac{1}{4}a_1\).
Ze wzoru 1 wynika:
\(a_1+a_1 q+a_1q^2=\frac{21}{4}\)
\(a_1+a_1\cdot \frac{1}{2}+a_1\cdot \frac{1}{4}=\frac{21}{4}\)
\(a_1\cdot \frac{7}{4}=\frac{21}{4}/cdot \frac{4}{7}\)
\(a_1=3\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-03-11, ZAD-4780
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Znaleźć wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: \((2+\sqrt{2},2+2\sqrt{2},4+2\sqrt{2},4+4\sqrt{2},...)\).
Zadanie nr 2.
Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), a siódmy \(\sqrt{2}\). Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.
Zadanie nr 3.
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy 8, iloraz tego ciągu jest równy 1/2. Obliczyć sumę wyrazów tego ciągu od wyrazu czwartego do dziesiątego.
Zadanie nr 4.
Dla jakich wartości \(x\) i \(y\) ciąg \((5,x,y,\frac{1}{25})\) jest ciągiem geometrycznym?
Zadanie nr 5.
Głębokość basenu w kształcie prostopadłościanu, który mieści milion litrów wody, wynosi 2,5 m. Głębokość, szerokość i długość basenu tworzą ciąg geometryczny. Jaka jest długość i szerokość basenu?
Zadanie nr 6.
Ile metrów studni można wykopać za 1000 zł, jeśli wykonawca oferuje wykopanie pierwszego metra za 1 grosz, a za każdy następny metr dwa razy więcej niż za poprzedni?
Zadanie nr 7 — maturalne.
Ciąg \((x,2x+3,4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy:
A. -4
B. 1
C. 0
D. -1
Zadanie nr 8 — maturalne.
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\) określony wzorem \(a_n=(\frac{1}{2x-371})^n\), dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie. Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą \(x\), dla której nieskończony szereg \(a_1+a_2+a_3+...\) jest zbieżny.
Zadanie nr 9 — maturalne.
W rosnącym ciągu geometrycznym \((a_n)\) , określonym dla \(n\geq 1\), spełniony jest warunek \(a_4=3a_1\). Iloraz \(q\) tego ciągu jest równy:
A. \(q=\frac{1}{3}\)
B. \(q=\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\)
C. \(q=\sqrt[3]{3}\)
D. \(q=3\)
Zadanie nr 10 — maturalne.
W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq 1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy \(a_1, a_3, a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg — trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Liczby: \(x-2, 6, 12\), w podanej kolejności, są trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Liczba \(x\) jest równa:
A. 0
B. 2
C. 3
D. 5
Zadanie nr 12 — maturalne.
Dany jest trzywyrazowy ciąg geometryczny \((24, 6, a − 1)\). Stąd wynika, że:
A. \(\frac{5}{2}\)
B. \(\frac{2}{5}\)
C. \(\frac{3}{2}\)
D. \(\frac{2}{3}\)
Zadanie nr 13 — maturalne.
Liczby \(a, b, c\) są — odpowiednio — pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Suma tych liczb jest równa 27. Ciąg \((a−2, b, 2c+1)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\).
Zadanie nr 14 — maturalne.
Trzywyrazowy ciąg \((15, 3x, \frac{5}{3})\) jest geometryczny i wszystkie jego wyrazy są dodatnie. Stąd wynika, że:
A. \(x=\frac{3}{5}\)
B. \(x=\frac{4}{5}\)
C. \(x=1\)
D. \(x=\frac{5}{3}\)
Zadanie nr 15 — maturalne.
Dany jest ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{(5-2n)}{6}\) dla \(n\geq 1\). Ciąg ten jest
A. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\).
B. arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\).
C. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\).
D. geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\).
Zadanie nr 16 — maturalne.
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\), w którym \(a_1=\sqrt{2}, a_2=2\sqrt{2}, a_3=4\sqrt{2}\). Wzór na n-ty wyraz tego ciągu ma postać
A. \(a_n=(\sqrt{2})^n\)
B. \(a_n=\frac{2^n}{\sqrt{2}}\)
C. \(a_n=(\frac{\sqrt{2}}{2})^n\)
D. \(a_n=\frac{(\sqrt{2})^n}{2}\)
Zadanie nr 17 — maturalne.
Liczby \(a, b, c\), spełniające warunek \(3a+b+3c=77\), są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciągu arytmetycznego. Ciąg \((a, b+1, 2c)\) jest geometryczny. Wyznacz liczby \(a, b, c\) oraz podaj wyrazy ciągu geometrycznego.
Zadanie nr 18 — maturalne.
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\geq 1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3}=\frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy:
A. \(\frac{1}{3}\)
B. \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
C. \(3\)
D. \(\sqrt{3}\)
Zadanie nr 19 — maturalne.
Ciąg \((a, b, c)\) jest geometryczny, ciąg \((a+1, b+5, c)\) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz \(a+b+c=39\). Oblicz \(a, b, c\).
Zadanie nr 20 — maturalne.
Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\geq 1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3= 0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2}\rangle\).
Zadanie nr 21 — maturalne.
Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), są dodatnie i \(9a_5=4a_3\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy
A. \(\frac{2}{3}\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(\frac{2}{9}\)
D. \(\frac{9}{2}\)
Zadanie nr 22 — maturalne.
Trzywyrazowy ciąg \((27,9,a-1)\) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(a\) jest równa
A. 3
B. 0
C. 4
D. 2
Zadanie nr 23 — maturalne.
W chwili początkowej (\(t=0\)) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej \(t\geq 0\) funkcja \(m(t)\) określa masę substancji w gramach po \(t\) pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji \(m(t)\). Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od \(1,5\) grama. Zapisz obliczenia.