Zadanie maturalne nr 15, matura 2020 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm2. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.
Rozwiązanie zadania
Oznaczmy przez\(x\) dłuższą krawędź ekranu, a przez \(y\) krótszą krawędź. Posługujmy się milimetrami. Pole powierzchni ekranu jest więc równe:
\(60\ cm^2=60\ (10\ mm)^2=6000\ mm^2\)
Z warunków zadania wiemy, że:
\(xy=6000\)
\(y=\frac{6000}{x}\).
Pole powierzchni ekranu wraz z krawędziami wynosi:
\(P=(x+10)(x+6)=xy+6x+10y+60\)
\(P=6000+6x+10\cdot \frac{6000}{x}+60\)
\(P=6x+\frac{60000}{x}+6060\)
Mamy pole powierzchni urządzenia wyrażone poprzez zmienną x. Aby obliczyć ekstremum tej funkcji obliczamy pochodną funkcji \(P(x)\) względem \(x\).
\(P'(x)=6-\frac{60000}{x^2}=\frac{6x^2}{x^2}-\frac{60000}{x^2}=\frac{6(x^2-10000)}{x^2}\)
Jeżeli funkcja ma ekstremum w pewnym punkcie i ma w tym punkcie pochodną, to pochodna w tym punkcie jest równa zeru.
\(P'(x)=0\)
\(\frac{6(x^2-10000)}{x^2}=0/:6\)
\(\frac{(x-100)(x+100)}{x^2}=0\)
Mamy dwa pierwiastki tego równania: 100 i -100.
Przyjrzyjmy się warunkom zadania. Określimy jeszcze dziedzinę rozwiązań:
Zakładamy, że jedna z krawędzi jest dłuższa od drugiej i obie mają dodatnią długość: \(x+10>y+6>0\). Zatem:
\(x+10>y+6\)
\(x+10-6>\frac{6000}{x}\)
\(x+4>\frac{6000}{x}/ \cdot x (x>0)\)
\(x^2+4x>6000\)
\(x^2+4x+4>6000+4\)
\((x+2)^2>6004\)
\(|x+2|>\sqrt{4\cdot 1501}\)
\(x+2>2\sqrt{1501}\)
\(x>2\sqrt{1501}-2\approx 76\)
Zatem pierwiastek \(-100\) nie należy do dziedziny rozwiązań. Pochodna \(P'(x)\) jest ujemna dla wartości poniżej 100 (i powyżej \(2\sqrt{1501}-2\approx 76\)), a większa dla wartości powyżej 100, zatem w tym miejscu ma minimum.
\(x_{min}=100\ mm\)
\(y_{min}=\frac{6000}{x_{min}}=60\ mm\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-03-20, ZAD-4788
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem \(y=x-x^2\). Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?
Zadanie nr 2.
Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności \(V\) zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?
Zadanie nr 3 — maturalne.
Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).
Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.
Zadanie nr 5 — maturalne.
Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m3. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.
Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m2 dna
– 75 zł za 1 m2 ściany bocznej.
Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.
a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}\).
b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P)\.
c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.