Zadanie maturalne nr 25, matura 2021
Treść zadania:
Punkt \(A=(3,−5)\) jest wierzchołkiem kwadratu \(ABCD\), a punkt \(M=(1,3)\) jest punktem przecięcia się przekątnych tego kwadratu. Wynika stąd, że pole kwadratu \(ABCD\) jest równe
A. \(68\)
B. \(136\)
C. \(2\sqrt{34}\)
D. \(8\sqrt{34}\)
Rozwiązanie zadania
Sporządźmy rysunek poglądowy.
Punkt M jest środkiem odcinka AB.
Korzystając ze wzory na wyznaczenie współrzędnych środka odcinka:
Jeżeli końce odcinka AB mają współrzędne: \(A=(x_A,y_A), \ B=(x_B, y_B)\), to współrzędne środka odcinka i obliczamy ją ze wzoru:
\(x_s=\frac{x_A+x_B}{2},\quad{}y_s=\frac{y_A+y_B}{2} \)
Mamy więc:
\(1=\frac{x+3}{2}/\cdot 2\)
\(2=x+3\)
\(x=-1\)
\(3=\frac{-5+y}{2}/\cdot 2\)
\(6=-5+y\)
\(y=11\)
Długość odcinka AB oznaczmy przez d:
\(d=\sqrt{(-1-3)^2+(11+5)^2}=\sqrt{16+256}=\sqrt{272}\)
Odcinek AB jest przekątną kwadratu ABCD, którego bok oznaczmy przez a. Przekątna kwadratu o boku a ma długość \(a\sqrt{2}\).
\(a\sqrt{2}=\sqrt{272}\)
\(a=\frac{\sqrt{272}}{\sqrt{2}}\)
Pole kwadratu ABCD jest równe:
\(P=a^2=(\frac{\sqrt{272}}{\sqrt{2}})^2=\frac{272}{2}=136\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-03-26, ZAD-4814
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Na kole o promieniu \(r=5\) opisano kwadrat. Oblicz jego pole.
Zadanie nr 2.
Oblicz pole kwadratu \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(A=(3,0), B=(4,2), C=(2,3), D=(1,1)\).
Zadanie nr 3.
Na obszarze w kształcie kwadratu o powierzchni 1 ha organizowany jest koncert. Przyjmuje się, że na dany obszar można wpuścić tyle ludzi, że na każdego przypada 1 m2 wolnej powierzchni. Jaki przychód z koncertu będą mieli organizatorzy, jeśli zostaną sprzedane wszystkie bilety, których cena wynosi 30 zł?
Zadanie nr 4.
Środki kwadratu o boku \(a=10\) połączono tak, że powstał w środku mniejszy kwadrat. Oblicz jego pole.
Zadanie nr 5.
Przekątna kwadratu pokrywa się z ramieniem trójkąta równoramiennego o polu równym 16. Oblicz pole kwadratu.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=(5, -\frac{5}{3})\). Przekątna \(BD\) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu \(y =\frac{4}{3}x\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) oraz pole kwadratu \(ABCD\).