Zadanie maturalne nr 30, matura 2021
Treść zadania:
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a,b\) i \(c\) takich, że \(a<b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b}<\frac{(a+c)}{(b+c)}\).
Rozwiązanie zadania
Przekształcamy nasze wyrażenie:
\(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\)
\(\frac{a}{b}-\frac{a+c}{b+c}<0\)
\(\frac{a(b+c)}{b(b+c)}-\frac{b(a+c)}{b(b+c)}<0\)
\(\frac{ab+ac-ab-bc}{b(b+c)}<0\)
\(\frac{ac-bc}{b(b+c)}<0\)
\(\frac{c(a-b)}{b(b+c)}<0\)
\((a-b)\cdot \frac{c}{b(b+c)}<0\)
Z warunków zadania wynika, że \(a<b\), więc czynnik (a-b) jest zawsze ujemny. W liczniku ułamka mamy c - liczbę dodatnią, w mianowniku iloczyn dwóch liczb dodatnich, a zatem \(\frac{c}{b(b+c)}>0\).
Iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest zawsze ujemny, a zatem wyrażenie \((a-b)\cdot \frac{c}{b(b+c)}<0\) czego należało dowieść.
© medianauka.pl, 2023-03-28, ZAD-4819
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=\frac{x}{2}-3\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie nr 2.
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=5-x\) jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a− 2b)+2b^2>0\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność \(\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2\).
Zadanie nr 5 — maturalne.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x>y\), spełniona jest nierówność \(7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Liczby rzeczywiste \(x\) oraz \(y\) spełniają jednocześnie równanie \(x+y=4\) i nierówność \(x^3-x^2y\leq xy^2-y^3\). Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).