Zadanie - obliczanie granicy niewłaściwej ciągu z definicji

Treść zadania:

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Ciąg jest rozbieżny do minus nieskończoności. Zgodnie z definicją granicy niewłaściwej ciągu musimy wykazać, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(M\) prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od tej liczby.

Mamy ciąg \(a_n=\frac{1-n^2}{n}\). Wypiszmy kilka pierwszych wyrazów tego ciągu:

\(a_1=\frac{1-1}{1}=0\)

\(a_2=\frac{1-4}{2}=-1\)

\(a_3=\frac{1-9}{3}=-\frac{8}{3}=-2\frac{2}{3}\)

\(a_4=\frac{1-16}{4}=-\frac{14}{4}=-3\frac{3}{4}\)

\(...\)

Zakładamy więc, że \(M\) jest dowolną liczbą rzeczywistą i badamy, dla jakiej wartości \(n_0\):

\(a_n<M\)

\(\frac{1-n^2}{n}<M\)

Otrzymaliśmy nierówność wymierną.

\(\frac{1-n^2}{n}<M\)

\(\frac{1-n^2}{n}-M<0\)

\(\frac{1-n^2}{n}-\frac{Mn}{n}<0\)

\(\frac{1-n^2-Mn}{n}<0\)

Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną, a więc dodatnią, to cały ułamek jest ujemny, gdy licznik jest ujemny. Możemy więc napisać:

\(1-n^2-Mn<0\)

\(-n^2-Mn+1<0/\cdot (-1)\)

\(n^2+Mn-1>0\)

Otrzymaliśmy nierówność kwadratową. Obliczamy więc wyróżnik trójmianu i pierwiastki:

\(a=1,\ b=M,\ c=-1\)

(\Delta=b^2-4ac=M^2+4\)

\(n_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-M-\sqrt{M^2+4}}{2}<0\)

\(n_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}\)

Wykres

Interesują nas tylko dodatnie wartości \(n\) (nie ma ujemnych wyrazów ciągu, tylko \(1,2,3,\) itd.), więc otrzymujemy:

\(n>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}\)

Skąd wiadomo, że \(n_1\) jest ujemne? Wykażemy, że wyrażenie to jest ujemne dla każdej wartości \(M\).

Zauważmy, że \(\sqrt{M^2+4}>\sqrt{M^2}=M\), a także, że:

\(\frac{-M-\sqrt{M^2+4}}{2}<0/\cdot 2\)

\(-M-\sqrt{M^2+4}<0\)

Dla dodatnich wartości \(M\) nierówność jest prawdziwa, natomiast dla ujemnych, pierwszy składnik różnicy staje się liczbą dodatnią. Ponieważ pokazaliśmy wyżej, że \(M\) jest mniejsze od wyrażenia z pierwiastkiem, zatem, gdy od mniejszej liczby odejmiemy większą, otrzymamy liczbę ujemną. Zatem \(n_1\) jest ujemne dla każdej wartości \(M\).

Zatem wykazaliśmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej \(M\) począwszy od \(n_0\)-tego (\(n_0>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}\)) wyrazu ciągu \((a_n)\) prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od liczby \(M\).

Zgodnie z definicją granicą tego ciągu jest minus nieskończoność.

Aby lepiej zrozumieć to rozwiązanie, przeanalizujmy przykład:

Niech np. \(M=-2\). Zgodnie z naszymi wyliczeniami dla \(n_0>\frac{-M+\sqrt{M^2+4}}{2}=\frac{2+\sqrt{8}}{2}= \frac{2+2\sqrt{2}}{2}=1+\sqrt{2}\) prawie wszystkie wyrazy ciągu są mniejsze od \(M\). I rzeczywiście, dopiero dla \(n_0=3,4,5,...\) prawie wszystkie wyrazy ciągu, czyli wszystkie za wyjątkiem wyrazu 1, 2-ego są mniejsze od -2.


© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-482

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}5^n=\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Wykazać na podstawie definicji, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że

A. \(p=-8\)

B. \(p=4\)

C. \(p=2\)

D. \(p=-2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Oblicz granicę \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})\). W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Granica tego ciągu jest równa

A. \(3\).

B. \(\frac{1}{5}\).

C. \(\frac{3}{5}\).

D. \(-\frac{5}{11}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Oblicz granicę

Zadanie 5, matura 2021.

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po
przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Rys

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) wzorem \(a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \(a_n\) jest równa \(\frac{4}{3}\). W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.