Nauka » Matematyka » Pole trójkąta i obwód trójkąta

zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 35, matura 2021

Treść zadania:

Punkty $A = (- 20, 12)$ i $B = (7, 3)$ są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym $| A C | = | B C |$ . Wierzchołek $C$ leży na osi $O y$ układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka $C$ oraz obwód tego trójkąta.

Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek poglądowy.

Rysunek

Ponieważ trójkąt ABC jest równoboczny, to wysokość opuszczona z punktu C na p[odstawę, dzieli ją na dwie części. Punkt K jest więc środkiem odcinka AB. Mając dane współrzędne A i B w prosty sposób znajdziemy współrzędne punktu K:

$A = (- 20, 12)$

$B = 7, 3$

$K = (\frac{020 + 7}{2}, \frac{12 + 3}{2}) = (- \frac{13}{2}, \frac{15}{2})$

Znajdźmy wzór prostej przechodzącej przez A i B:

${\begin{cases} 12 = - 20 a + b \\ 3 = 7 a + b \end{cases}$

Odejmując od siebie te równania otrzymamy:

$9 = - 27 a$

$a = - \frac{1}{3}$

Prosta k jest prostopadła do prostej, która zawiera odcinek AB, zatem jest współczynnik kierunkowy jest równy $- \frac{1}{a} = 3$ .

Równanie prostej k przyjmuje postać:

$y = 3 x + b_{k}$

Znamy współrzędne punktu K, zatem:

$\frac{15}{2} = 3 \cdot (- \frac{13}{2}) + b_{k}$

$b_{k} = \frac{15}{2} + \frac{39}{2} = 27$

Stąd wiemy już, że punkt C ma współrzędne $C = (0, 27)$ , bo wystarczy obliczyć f(0) dla równania prostej k.

Obliczamy teraz długość odcinka AB:

$| A B | = \sqrt{(7 - (- 20))^{2} + (3 - 12)^{2}} = \sqrt{729 + 81} = \sqrt{810} = 9 \sqrt{10}$

Ponieważ |AC|=|BC|, wystarczy obliczyć jedną z tych długości:

$| A C | = \sqrt{(0 - (- 20))^{2} + (27 - 12)^{2}} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25$

Obwód L trójkąta ABC jest równy:

$L = | A B | + 2 | A C | = 9 \sqrt{10} + 50$

Odpowiedź

L = 50 + 9 \sqrt{10}

© medianauka.pl, 2023-03-29, ZAD-4824

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

wykresy on-line

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Obliczyć pole i obwód trójkąta prostokątnego, wyznaczonego przez punkty $A = (1, 2), B = (1, 3), C = (4, 1)$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Oblicz pole powierzchni i obwód trójkąta równobocznego o wysokości $h = 2 c m$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Środki trójkąta równobocznego o boku długości 2 połączono ze sobą tak, że powstał mniejszy trójkąt wewnątrz większego. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Ceny poszczególnych działek są następujące:

A. 60 000 PLN

B. 50 000 PLN

C. 50 000 PLN

D. 100 000 PLN

Zakup której działki jest najbardziej opłacalny?

Twierdzenie Pitagorasa - zadanie

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Dany jest trójkąt o bokach długości 2, 3 i 4. Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Wektory $\vec{a} = [1, 2], \vec{b} = [- 3, 4]$ wyznaczają trójkąt. Obliczyć jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Dany jest wektor $\vec{A B} = [2, 5]$ zaczepiony w punkcie $A = (1, 1)$ . Znaleźć taki punkt $C$ , leżący na prostej $y = 2$ , że pole trójkąta $A B C$ jest równe 10.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i kącie wewnętrznym między tymi ramionami $α = 30 °$ . Oblicz pole powierzchni tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Na trójkącie o polu równym 6 i o bokach o długości 2, 3 i 4 opisano okrąg. Oblicz długość promienia tego okręgu.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10.

Dany jest trójkąt $A, B, C$ o wierzchołkach $A = (- 1, 1), B = (2, 1), C = (- 2, - 1)$ . Oblicz jego pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11.

Z kwadratu o boku a wycięto trójkąt tak, że jeden z jego wierzchołków stanowi środek boku kwadratu, a jeden z boków tego trójkąta stanowi bok kwadratu. Czy pole ścinków jest większe od pola trójkąta?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12.

W trójkąt równoramienny o polu $\sqrt{15}$ wpisano okrąg o promieniu $r = \frac{\sqrt{15}}{5}$ . Na tym samy trójkącie opisano okrąg o promieniu $R = \frac{8 \sqrt{15}}{15}$ . Oblicz długości boków tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 — maturalne.

Okręgi o promieniach 3 i 4 są styczne zewnętrznie. Prosta styczna do okręgu o promieniu 4 w punkcie $P$ przechodzi przez środek okręgu o promieniu 3 (zobacz rysunek).

ilustracja do zadania

Pole trójkąta, którego wierzchołkami są środki okręgów i punkt styczności $P$ , jest równe:

A. $14$

B. $2 \sqrt{33}$

C. $4 \sqrt{33}$

D. $12$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 14 — maturalne.

Kąt $C A B$ trójkąta prostokątnego $A C B$ ma miarę $30 °$ . Pole kwadratu $D E F G$ , wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe 4. Oblicz pole trójkąta $A C B$ .

rysunek do zadania 34, matura 2014

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 15 — maturalne.

Obwód trójkąta $A B C$ , przedstawionego na rysunku, jest równy:

A. $3 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $3 + \sqrt{3}$

D. $(2 + \sqrt{2}$

Ilustracja do zadania

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 16 — maturalne.

W trójkącie ostrokątnym $A B C$ bok $A B$ ma długość $c$ , długość boku $B C$ jest równa a oraz $∠ A B C = β$ . Dwusieczna kąta $A B C$ przecina bok $A C$ trójkąta w punkcie $E$ . Wykaż, że długość odcinka $B E$ jest równa $\frac{2 a c \cdot \cos \frac{β}{2}}{a + c}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 17 — maturalne.

W trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona na podstawę jest równa 36, a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 10. Oblicz długości boków tego trójkąta i promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 18 — maturalne.

Przyprostokątna $A C$ trójkąta prostokątnego ABC ma długość 8 oraz $t g α = \frac{2}{5}$ (zobacz rysunek).

Zadanie 18, matura 2021

Pole tego trójkąta jest równe

A. $12$

B. $\frac{37}{3}$

C. $\frac{62}{5}$

D. $\frac{64}{5}$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 19 — maturalne.

Dany jest trójkąt równoboczny $A B C$ . Na bokach $A B$ i $A C$ wybrano punkty — odpowiednio — $D$ i $E$ takie, że $| B D | = | A E = \frac{1}{3} | A B |$ . Odcinki $C D$ i $B E$ przecinają się w punkcie $P$ (zobacz rysunek).

Matura 2021, zadanie 8

Wykaż, że pole trójkąta $D B P$ jest 21 razy mniejsze od pola trójkąta $A B C$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

©® Media Nauka 2008-2025 r.