Zadanie maturalne nr 9, matura 2021 (poziom rozszerzony)
Treść zadania:
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.
Rozwiązanie zadania
zbadajmy ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych. są to liczby od 1000 do 9999. Jest ich zatem 9000 (9999-1000+1). Stąd:
\(|\Omega|=9000\)
Mamy tu do czynienia z prawdopodobieństwem warunkowym:
\(P(A\setminus B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}\)
Niech \(A\) oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15.
Niech \(B\) oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba jest podzielna przez 18.
Niech \(A\cap B\) oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba jest podzielna przez 18 i 15 (czyli przez 90).
Jakie liczby należą do zbioru B?
Najmniejszą liczbą podzielną przez 18 i większą od 1000 jest 1008 i potem kolejno o 18 większe:
\(1008, 10026, 1044,..., (n-1)\cdot 18\), gdzie n oznacza liczbę elementów zbioru B.
Ważny jest warunek:
\(1008+18(n-1)\leq 9999\)
\(18(n-1)\leq 9999-1008/:18\)
\(n-1\leq 499,5\)
\(n\leq 500,5\)
Zatem liczb czterocyfrowych podzielnych przez 18 jest co najwyżej 500. Policzymy prawdopodobieństwo wylosowania takiej liczby:
\(P(B)=\frac{500}{9000}=\frac{1}{18}\)
Najmniejszą liczbą podzielną przez 90 i większą od 1000 jest 1080 i potem kolejno o 90 większe:
\(1080, 10170,..., (m-1)\cdot 90\), gdzie m oznacza liczbę elementów zbioru \(A\cap B\).
\(1080+90(m-1)\leq 9999\)
\(90(m-1)\leq 9999-1080/:90\)
\(m\leq 100,1\)
Zatem \(m=100\).
\(P(A\cap B)=\frac{100}{9000}=\frac{1}{90}\)
Obliczamy prawdopodobieństwo warunkowe:
\(P(A\setminus B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\frac{1}{90}}{\frac{1}{18}}= \frac{18}{90}=\frac{1}{5}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-04-03, ZAD-4834
