zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 10, matura 2021 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8, −6)\) i \(B=(5, 15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0, 0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek poglądowy.

Rysunek

Wyznaczmy równanie prostej \(y=ax+b\), która przechodzi przez punkty A i B. Wówczas znajdziemy równanie prostej przechodzącej przez punkt styczności C z okręgiem i jego współrzędne oraz długość promienia.

\(\begin{cases} -6=8a+b\\ 15=5a+b \end{cases}\)

Odejmujemy stronami równania i otrzymujemy:

\(-6-15=8a-5a\)

\(-21=3a\)

\(a=-7\)

\(b=-6-8\cdot(-7)=50\)

Równanie prostej zawierającej A i B: \(y=-7x+50\).

Dla wyznaczenia promienia \(r\) skorzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej. Odległość punktu \(P=(x_0,y_0)\) od prostej \(Ax+By+C=0\) wyrażona jest wzorem: \( d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}} \)

Przekształcamy zatem do powyższej postaci nasze równanie i obliczamy \(r\) poprzez odległość środka okręgu \(O=(0,0)\) od punktu styczności .

\(7x+y-50=0\)

\(A=7, B=1, C=-50\)

\(r=\frac{|7\cdot 0+0-50|}{\sqrt{7^+1^2}}=\frac{50}{\sqrt{50}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}}\)

Ponieważ prosta OC jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=-7x+50\), to jej współczynnik kierunkowy jest równy \(\frac{1}{7}\). Ponieważ przechodzi ona przez punkt \(O=(0,0)\), więc równanie tej prostej jest następujące: \(y=\frac{1}{7}x\).

Aby znaleźć współrzędne punktu C, rozwiązujemy układ

\(\begin{cases} y=\frac{1}{7}x\\ y=-7x+50 \end{cases}\)

Stąd:

\(\frac{1}{7}x=-7x+50/\cdot 7\)

\(x+49x=350\)

\(5x=350/:5\)

\(x=7\)

\(y=1\)

ksiązki Odpowiedź

Punkt styczności ma współrzędne \((7,1)\), a \(r=5\sqrt{2}\)

© medianauka.pl, 2023-04-03, ZAD-4835

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Znaleźć równanie paraboli, której fragment przedstawiono na rysunku:

parabola

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć współrzędne punktu przecięcia się prostych o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=-5x+3\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:

a) \(\begin{cases} 3x-2y=-4 \\ x+3y=-5\end{cases}\)

b) \(\begin{cases} \sqrt{3}x+4y=1\\ x+2\sqrt{3}y=\sqrt{3}\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać układ równań metodą podstawiania:

a) \(\begin{cases} y-3x=2\\ -2y+6x=1 \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} 2x+\frac{1}{2}y=\frac{1}{3}\\ -12x-3y=-2 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:

a) \(\begin{cases} \frac{1}{2}x-2=y\\ \frac{1}{3}x+3=\frac{1}{4}y \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} 5x+5y=-7\\ -3x-2y=4 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników:

a) \(\begin{cases} \sqrt{2}x-\sqrt{6}y=\sqrt{5}\\ 2x+4y=\sqrt{10} \end{cases}\)

b) \(\begin{cases} 2x+y=-\frac{1}{2}\\ -4x-2y=1 \end{cases}\)

c) \(\begin{cases} 3x-y=5\\-6x+2y=-1 \end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 7 — maturalne.

Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że:

A. \(P=(1,2)\)

B. \(P=(-1,2)\)

C. \(P=(-1,-2)\)

D. \(P=(1,-2)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Proste o równaniach \(2x-3y=4\) i \(5x-6y=7\) przecinają się w punkcie \(P\). Stąd wynika, że:

A. \(P=(1,2)\)

B. \(P=(-1,2)\)

C. \(P=(-1,-2)\)

D. \(P=(1,-2)\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(a\), dla których wykresy funkcji \(f\) i \(g\), określonych wzorami \(f(x)=x-2\) oraz \(g(x)=5-ax\), przecinają się w punkcie o obu współrzędnych dodatnich.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Układ równań

\(\begin{cases}x-y=3\\ 2x+0,5y=4 \end{cases}\)

opisuje w układzie współrzędnych na płaszczyźnie:

A. zbiór pusty.

B. dokładnie jeden punkt.

C. dokładnie dwa różne punkty.

D. zbiór nieskończony.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

W układzie współrzędnych są dane punkty \(A=(-43,-12)\), \(B=(50,19)\). Prosta AB przecina oś \(Ox\) w punkcie \(P\). Oblicz pierwszą współrzędną punktu \(P\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.

wzór

Wskaż ten układ:

A. \(\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}\)

B. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}"\)

C. \(\begin{cases}y=x-1\\y=-2x+4\end{cases}"\)

D. \(\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 13 — maturalne.

Para liczb \(x=2\) i \(y=2\) jest rozwiązaniem układu równań

\(\begin{cases} ax+y=5\\-2x+3y=2a\end{cases}\)

dla:

A. \(a=-1\)

B. \(a=1\)

C. \(a=-2\)

D. \(a=2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 14 — maturalne.

Na rysunku obok przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań. Wskaż ten układ, którego geometryczną interpretację przedstawiono na rysunku.

Zadanie 8, matura 2021, matematyka

A. \(\begin{cases}y=x+1\\y=-2x+4\end{cases}\)

B. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}\)

C. \(\begin{cases}y=x-1\\y=2x+4\end{cases}\)

D. \(\begin{cases}y=x+1\\y=2x+4\end{cases}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 15 — maturalne.

Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases} 11x-11y=1\\22x+22y=-1\end{cases}\) jest para liczb \(x=x_0, y=y_0\). Wtedy

A. \(x_0>0\) i \(y_0>0\)

B. \(x_0>0\) i \(y_0<0\)

C. \(x_0<0\) i \(y_0>0\)

D. \(x_0<0\) i \(y_0<0\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.