Zadanie maturalne nr 12, matura 2021 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Rozwiązanie zadania

Skorzystamy najpierw ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:

\(\cos{2x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\)

\(\cos^2{x}-\sin^2{x}=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\)

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia dla lewej strony równania:

\((\cos{x}+\sin{x})(\cos{x}-\sin{x})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\)

\((\cos{x}+\sin{x})(\cos{x}-\sin{x})-\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos{x}-\sin{x})\)=0

Wyjmujemy przed nawias czynnik \((\cos{x}-\sin{x})\):

\((\cos{x}-\sin{x})(\cos{x}+\sin{x}-\frac{\sqrt{2}}{2})\)=0

Iloczyn jest zerem, gdy jeden lub drugi czynnik iloczynu jest równy zeru.

Zatem:

1) \(\cos{x}-\sin{x}=0\)

2) \(\cos{x}+\sin{x}-\frac{\sqrt{2}}{2}\)=0

Pierwsze równanie rozwiązujemy graficznie w przedziale ⟨0;π⟩, tzn. szukamy argumentu \(x\), dla której \(\sin{x}\) jest równy \(\cos{x}\).

Odczytujemy rozwiązanie z wykresu: \(x=\frac{\pi}{4}\)

Rozwiązujemy drugie równanie:

\(\cos{x}+\sin{x}-\frac{\sqrt{2}}{2})\)=0

\(\cos{x}+\sin{x}=\frac{\sqrt{2}}{2})\)

Korzystając ze wzorów redukcyjnych:

\(\sin{\frac{\pi}{2}-x}+\sin{x}=\frac{\sqrt{2}}{2})\)

Stosujemy wzór na sumę sinusów:

\(2\sin{\frac{\frac{\pi}{2}-x+x}{2}}\cdot \cos{\frac{\frac{\pi}{2}-x-x}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(2\sin{\frac{\pi}{4}}\cdot \cos{(\frac{\pi}{4}-x)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos{(\frac{\pi}{4}-x)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\cos{(\frac{\pi}{4}-x)}=\frac{1}{2}\)

Zatem

\(\frac{\pi}{4}-x=\frac{\pi}{3}+2k\pi\)

lub

\(\frac{\pi}{4}-x=-\frac{\pi}{3}+2k\pi\)

Czyli:

\(x=-\frac{\pi}{12}+2k\pi\)

lub

\(x=\frac{7\pi}{12}+2k\pi\)

W rozpatrywanym przedziale \(x=\frac{7\pi}{12}\)

Odpowiedź

© medianauka.pl, 2023-04-06, ZAD-4837

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Rozwiązać równanie:

a) \(tg2x=1\)

b) \(\sqrt{2}\sin{2x}=1\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Rozwiązać równanie: \(1-\sin^2{x}=\cos{x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Rozwiązać równanie: \(tgx+ctgx=\frac{4}{\sqrt{3}}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Rozwiązać równanie: \(\cos{x}-\sqrt{3}\sin{x}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Rozwiązać równanie: \(2\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}=1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Rozwiązać równanie: \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Rozwiązać równanie: \(\cos{(2x-\frac{\pi}{4})}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8.

Rozwiązać równanie: \(\cos{5x}+\sin{x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9.

Rozwiązać równanie: \(\sin{2x}+\sin{4x}=0\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)

A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.

B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.

D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(\cos{2x}=\sin{x}+1\) w przedziale \(\langle 0,2\pi \rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(3\cos{2x}+10 \cos^2{x}=24\sin{x}−3\) dla \(x\in \langle 0, 2\pi\rangle\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 13 — maturalne.

Rozwiąż równanie \(4\sin{(4x)}\cos{(6x)}=2\sin{(10x)}+1\). Zapisz obliczenia.

Pokaż rozwiązanie zadania.