zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 14, matura 2021 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Dane są parabola o równaniu y = x2 oraz punkty A = (0, 2) i B = (1, 3) (zobacz rysunek). Rozpatrujemy wszystkie trójkąty ABC, których wierzchołek C leży na tej paraboli. Niech m oznacza pierwszą współrzędną punktu C.

a) Wyznacz pole P trójkąta ABC jako funkcję zmiennej m.

b) Wyznacz wszystkie wartości m, dla których trójkąt ABC jest ostrokątny.

Zadanie 14, matura 2021, matematyka


ksiązki Rozwiązanie zadania

Rozwiązujemy część pierwszą zadania.

Część pierwsza

rysunek

Dowolny punkt C na paraboli o równaniu \(y=x^2\) i pierwszej współrzędnej \(m\) ma współrzędne \(C=(m,m^2)\).

Aby policzyć pole trójkąta ABC dane wzorem \(P=\frac{1}{2}ah\), gdzie \(a=|AB|\), a \(h\) jest wysokością tego trójkąta, opuszczoną z punktu C na odcinek AB.

Obliczmy długość odcinka AB. Ponieważ \(A = (0, 2)\) i \(B=(1, 3)\), to:

\(|AB|=\sqrt{(1-0)^2+(3-2)^2}\)=\sqrt{2}\)

Wysokość obliczymy ze wzoru na odległość punktu C od prostej AB.

Odległość punktu \(P=(x_0,y_0)\) od prostej \(Ax+By+C=0\) wyrażona jest wzorem: \(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)

Szukamy równania prostej AB: \(y=ax+b\)

\(\begin{cases} 2=0\cdot a +b\\ 3=1\cdot a+b\end{cases}\)

\(\begin{cases} b=2\\ a=1\end{cases}\)

\(y=x+2\)

\(x-y+2=0\)

\(A=1, B=-1, C=2\)

Punkt \(C=(m, m^2)\)

\(h=\frac{|m-m^2+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\)

\(h=\frac{|m-m^2+2|}{\sqrt{2}}\)

Zatem pole trójkąta ABC można wyrazić jako:

\(P=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot h = \frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{|m-m^2+2|}{\sqrt{2}} =\frac{1}{2}|m-m^2+2|\)

Sprawdźmy kiedy pole to przyjmuje wartości zero.

\(P=0\)

\(\frac{1}{2}|m-m^2+2|=0\)

\(-m^2+m+2=0\)

\(\Delta=1+8=9\)

\(m=\frac{-1-3}{-2}=2\) lub \(m=\frac{-1+3}{-2}=-1\)

Są to przypadki, w których punkt C leży na prostej AB i musimy je wykluczyć.

Część druga

Kąty CAB, ABC i ACB są ostre wtedy, gdy cosinusy tych kątów są dodatnie.

\(\cos{|\angle CAB|}>0\)

\(\cos{|\angle ABC|}>0\)

\(\cos{|\angle ACB|}>0\)

Wprowadźmy oznaczenia:

\(a=|BC|\)

\(b=|AC|\)

\(c=|AB|\)

Ponadto twierdzenia cosinusów otrzymujemy:

\(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}>0\)

\(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}>0\)

\(\frac{b^2+a^2-c^2}{2ab}>0\)

Aby powyższe nierówności były spełnione, liczniki ułamków muszą być dodatnie:

\(b^2+c^2-a^2>0\)

\(a^2+c^2-b^2>0\)

\(b^2+a^2-c^2>0\)

Ponieważ:

\(A = (0, 2)\)

\(B=(1, 3)\)

\(C=(m, m^2)\)

to:

\(a=|BC|=\sqrt{(m-1)^2+(m^2-3)^2}\)

\(b=|AC|=\sqrt{(m^2+(m^2-2)^2}\)

\(c=|AB|=\sqrt{2}\)

\(a^2=(m-1)^2+(m^2-3)^2\)

\(b^2=m^2+(m^2-2)^2\)

\(c^2=2\)

Podstawiamy powyższe równości do pierwszej z nierówności:

\(b^2+c^2-a^2>0\)

\(m^2+(m^2-2)^2+2-(m-1)^2-(m^2-3)^2>0\)

\(m^2+m^4-4m^2+4+2-[(m^2-2m+1)+(m^4-6m^2+9)]>0\)

\(-3m^2+m^4+6-m^2+2m-1-m^4+6m^2-9>0\)

\(2m^2+2m-4>0\)

\(2m^2+2m-4>0/:2\)

\(m^2+m-2>0/:2\)

\(\Delta=1+8=9\)

\(m_1=\frac{-1-3}{2}=-2\)

\(m_2=\frac{-1+3}{2}=1\)

\(m\in (-\infty;-2)\cup (1;\infty)\)

Rozwiązujemy drugą nierówność:

\(a^2+c^2-b^2>0\)

\((m-1)^2+(m^2-3)^2+2-m^2-(m^2-2)^2>0\)

Po przekształceniach otrzymujemy:

\(-2m^2-2m+8>0\)

\(\Delta=68\)

\(m_1=\frac{2-\sqrt{68}}{-4}=\frac{2-2\sqrt{17}}{-4}=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\)

\(m_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}\)

\(m\in (\frac{-1-\sqrt{17}}{2}; \frac{-1+\sqrt{17}}{2})\)

Uwzględniając wynik z pierwszej nierówności mamy:L

\(m\in (\frac{-1-\sqrt{17}}{2};-2)\cup (1; \frac{-1+\sqrt{17}}{2})\)

Zbadajmy jeszcze trzecią nierówność:

\(b^2+a^2-c^2>0\)

\(m^2+(m^2-2)^2+(m-1)^2+(m^2-3)^2-2>0\)

\(m^2+m^4-4m^2+4+m^2-2m+1+m^4-6m^2+9 -2>0\)

\(2m^4-8m^2-2m+12>0/:2\)

\(m^4-4m^2-m+6>0\)

Przekształcamy powyższe wyrażenie z lewej strony nierówności:

\((m^4-4m^2+4)-m+2>0\)

\((m^2-2)^2+2-m>0\)

Dla każdej wartości \(m<2\) powyższa nierówność jest prawdziwa, a ponieważ

\(\frac{-1+\sqrt{17}}{2}<2\), to powyższa nierówność jest spełniona dla wszystkich \(m\in (\frac{-1-\sqrt{17}}{2};-2)\cup (1; \frac{-1+\sqrt{17}}{2})\).

Stąd trójkąt ABC jest prostokątny dla \(m\in (\frac{-1-\sqrt{17}}{2};-2)\cup (1; \frac{-1+\sqrt{17}}{2})\).


© medianauka.pl, 2023-04-08, ZAD-4839

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


zadanie maturalne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Punkt \(A=(−3,2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Pole tego trójkąta jest równe 15. Bok \(BC\) zawarty jest w prostej o równaniu \(y=x-1\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.