Zadanie - Obliczanie granicy ciągu na podstawie definicji

Treść zadania:

Wykazać na podstawie definicji, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Zgodnie z definicją granicy ciągu musimy wykazać, że \(2\) jest granicą ciągu \((a_n)=\frac{2n+3}{n}\) przy \(n\) dążącym do nieskończoności, jeżeli dla każdego epsilon istnieje taka liczba \(n_0\), że dla każdego \(n>n_0\) spełniona jest nierówność \(|\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon\), czyli:

\(|\frac{2n+3}{n}-2|<\varepsilon\)

Rozwiązujemy nierówność:

\(|\frac{2n+3}{n}-\frac{2n}{n}|<\varepsilon\)

\( |\frac{2n+3-2n}{n}|<\varepsilon\)

\(|\frac{3}{n}|<\varepsilon\)

Ponieważ \(n\) jest liczbą naturalną, to ułamek \(\frac{3}{n}\) jest zawsze dodatni i można opuścić wartość bezwzględną.

\(\frac{3}{n}<\varepsilon\)

\(\frac{3}{n}-\varepsilon<0\)

\(\frac{3}{n}-\frac{\varepsilon n}{n}<0\)

\(\frac{3-\varepsilon n}{n}<0\)

Powyższy ułamek jest ujemny, gdy licznik jest ujemny.

\(3-\varepsilon n<0\)

\(-\varepsilon n<-3/:(-\varepsilon)\)

\(n>\frac{3}{\varepsilon}\)

Mogliśmy podzielić przez epsilon, gdyż z definicji jest to dodatnia liczba i różna od zera. Istnieje więc takie \(n_0\), równe na przykład \([\frac{3}{\varepsilon}]+1\), (zapis "[ ]" oznacza część całkowitą liczby), że dla każdego numeru wyrazu ciągu większego od \(n_0\) prawie wszystkie wyrazy ciągu spełniają badaną nierówność, więc liczba \(2\) jest granicą tego ciągu.

Zilustrujmy ten wynik przykładem. Niech dla przykładu \(\varepsilon=2\). Dla \(n_0=[\frac{2}{\varepsilon}]+1=[\frac{3}{2}]+1=2\), czyli począwszy od drugiego wyrazu naszego ciągu, wszystkie wyrazy należą do otoczenia punktu \(2\). Zobaczmy to na rysunku:

Wykres ciągu


© medianauka.pl, 2010-01-02, ZAD-484

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}5^n=\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że

A. \(p=-8\)

B. \(p=4\)

C. \(p=2\)

D. \(p=-2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Oblicz granicę \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})\). W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Granica tego ciągu jest równa

A. \(3\).

B. \(\frac{1}{5}\).

C. \(\frac{3}{5}\).

D. \(-\frac{5}{11}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Oblicz granicę

Zadanie 5, matura 2021.

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po
przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Rys

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) wzorem \(a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \(a_n\) jest równa \(\frac{4}{3}\). W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.