zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 15, matura 2021 (poziom rozszerzony)

Treść zadania:

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m3. Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.

Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:
– 100 zł za 1 m2 dna
– 75 zł za 1 m2 ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Niech \(x\) oznacza długość krawędzi podstawy, a \(h\) — wysokość zbiornika. Objętość (pojemność) zbiornika jest równa:

\(V=x^3\cdot h=144\)

\(h=\frac{144}{x^2}\)

Wyraziliśmy zmienną \(h\) przez \(x\). Możemy teraz obliczyć koszt wykonania zbiornika, jako funkcję \(f\) zmiennej \(x\):

Mamy 4 ściany boczne o polu \(xh\), zatem:

\(f(x)=100x^2+75\cdot4xh\)

\(f(x)=100x^2+75\cdot4x\cdot \frac{144}{x^2}\)

\(f(x)=100x^2+\frac{43200}{x}\)

Z warunków zadania wynika, że \(x\in \langle 4;9\rangle\). Dlaczego? Oba wymiary \(x\) i \(h\) nie mogą być większe niż 9 m. Ponieważ

\(h=\frac{144}{x^2}\)

\(9=\frac{144}{x^2}\)

\(x^2=\frac{144}{9}\)

\(x=\sqrt{\frac{144}{9}}\)

\(x=\frac{12}{3}=4\)

Obliczamy pochodną funkcji \(f(x)\):

\(f'(x)=200x-\frac{43200}{x^2}\)

Obliczamy miejsce zerowe pochodnej:

\(200x-\frac{43200}{x^2}=0\)

\(\frac{200x\cdot x^2}{x^2}-\frac{43200}{x^2}=0\)

\(\frac{200x^3-43200}{x^2}=0\)

\(200x^3-43200=0/:200\)

\(x^3-216=0\)

\(x^3-6^3=0\)

\((x-6)(x^2+6x+36)=0\)

\(x=6\)

Badamy monotoniczność:

\(f'(x)>0\) gdy \(x\in(6;9)\) - w tym przedziale funkcja rośnie;

\(f'(x)<0\) gdy \(x\in(4;6)\) - w tym przedziale funkcja maleje.

Funkcja \(f(x)\) przyjmuje minimum dla \(x=6\) i \(h=\frac{144}{6^2}=4\).

ksiązki Odpowiedź

Wymiary zbiornika dla którego koszt wykonania jest najmniejszy: 6 m x 6 m x 4 m.

© medianauka.pl, 2023-04-08, ZAD-4840

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Rzucony kamień zakreśla w powietrzu tor opisany równaniem \(y=x-x^2\). Jakie jest maksymalne wzniesienia kamienia?

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Jakie wymiary powinna mieć metalowa puszka w kształcie walca, aby przy określonej pojemności \(V\) zużyć możliwie najmniej blachy do jej wykonania?

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Parabola o równaniu \(y=2-\frac{1}{2}x^2\) przecina oś \(Ox\) układu współrzędnych w punktach \(A=(- 2,0)\) i \(B=(2,0)\). Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne \(ABCD\), których dłuższą podstawą jest odcinek \(AB\), a końce \(C\) i \(D\) krótszej podstawy leżą na paraboli (zobacz rysunek).

Zadanie 16, ilustracja, matura 2016

Wyznacz pole trapezu \(ABCD\) w zależności od pierwszej współrzędnej wierzchołka \(C\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Należy zaprojektować wymiary prostokątnego ekranu smartfona, tak aby odległości tego ekranu od krótszych brzegów smartfona były równe 0,5 cm każda, a odległości tego ekranu od dłuższych brzegów smartfona były równe 0,3 cm każda (zobacz rysunek – ekran zaznaczono kolorem szarym). Sam ekran ma mieć powierzchnię 60 cm2. Wyznacz takie wymiary ekranu smartfona, przy których powierzchnia ekranu wraz z obramowaniem jest najmniejsza.

zadanie maturalne 15, matura rozszerzona 2020

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym 18.

a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2b)\cdot \sqrt{18b-81}}{2}\).

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P)\.

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.