Zadanie - obliczanie granicy ciągu

Treść zadania:

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

W liczniku mamy ciąg arytmetyczny. Aby się o tym przekonać znajdziemy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu. Ciąg \(1+2+3+...+n\) można wyrazić za pomocą wzoru: \(a_n=n\). Kolejny wyraz ciągu, to \(a_{n+1}=n+1\). Obliczamy różnicę tych wyrazów:

\(a_{n+1}-a_n=n+1-n=1=const\)

Ponieważ różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, oznacza to, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Możemy zatem obliczyć sumę \(n\) wyrazów, korzystając ze wzoru na sumę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego:

\(S_n=\frac{a_1 +a_n}{2}\cdot n\)

Obliczamy sumę naszego ciągu:

\(a_1=1\)

\(a_n=n\)

\(S_n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n+n^2}{2}\)

Możemy teraz przejść do obliczania granicy ciągu:

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+n^2}{2}}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{2n^2+2n-2}\)

Dzielimy teraz licznik i mianownik przez \(n^2\), występującą w mianowniku.

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{2}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}}=\frac{1+0}{2+0-0}=\frac{1}{2}\)

Skorzystaliśmy tutaj z równości:

ksiązki Odpowiedź

\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}=\frac{1}{2}\)

© medianauka.pl, 2010-01-03, ZAD-485

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}5^n=\infty\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Wykazać na podstawie definicji, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 8 — maturalne.

Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że

A. \(p=-8\)

B. \(p=4\)

C. \(p=2\)

D. \(p=-2\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 9 — maturalne.

Oblicz granicę \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})\). W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 10 — maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Granica tego ciągu jest równa

A. \(3\).

B. \(\frac{1}{5}\).

C. \(\frac{3}{5}\).

D. \(-\frac{5}{11}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 11 — maturalne.

Oblicz granicę

Zadanie 5, matura 2021.

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po
przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Rys

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 12 — maturalne.

Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) wzorem \(a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \(a_n\) jest równa \(\frac{4}{3}\). W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.