Zadanie - obliczanie granicy ciągu
Treść zadania:
Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}\).
Rozwiązanie zadania
W liczniku mamy ciąg arytmetyczny. Aby się o tym przekonać znajdziemy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu. Ciąg \(1+2+3+...+n\) można wyrazić za pomocą wzoru: \(a_n=n\). Kolejny wyraz ciągu, to \(a_{n+1}=n+1\). Obliczamy różnicę tych wyrazów:
\(a_{n+1}-a_n=n+1-n=1=const\)
Ponieważ różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, oznacza to, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Możemy zatem obliczyć sumę \(n\) wyrazów, korzystając ze wzoru na sumę \(n\) wyrazów ciągu arytmetycznego:
Obliczamy sumę naszego ciągu:
\(a_1=1\)
\(a_n=n\)
\(S_n=\frac{1+n}{2}\cdot n=\frac{n+n^2}{2}\)
Możemy teraz przejść do obliczania granicy ciągu:
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+3+...+n}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n+n^2}{2}}{n^2+n-1}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n}{2n^2+2n-2}\)
Dzielimy teraz licznik i mianownik przez \(n^2\), występującą w mianowniku.
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}+\frac{2n}{n^2}-\frac{2}{n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{2+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}}=\frac{1+0}{2+0-0}=\frac{1}{2}\)
Skorzystaliśmy tutaj z równości:
- \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a=a\) — granica ciągu stałego.
- \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\)
- \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2010-01-03, ZAD-485
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{-n^2-4n+1}{n^2+2}-5)\).
Zadanie nr 2.
Obliczyć granicę \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(\frac{n^3+n^2+2n+3}{n+1}-n^2)\).
Zadanie nr 3.
Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}=+\infty\).
Zadanie nr 4.
Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}(1+2n)=+\infty\).
Zadanie nr 5.
Wykazać, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1-n^2}{n}=-\infty\).
Zadanie nr 7.
Wykazać na podstawie definicji, że \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{n}=2\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Granica \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}{\frac{(pn^2+4n)^3}{5n^6-4}}=-\frac{8}{5}\). Wynika stąd, że
A. \(p=-8\)
B. \(p=4\)
C. \(p=2\)
D. \(p=-2\)
Zadanie nr 9 — maturalne.
Oblicz granicę \(\displaystyle\lim_{n\to \infty}(\frac{11n^3+6n+5}{6n^3+1}-\frac{2n^2+2n+1}{5n^2-4})\). W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie nr 10 — maturalne.
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(\frac{3n^2+7n-5}{11-5n+5n^2}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Granica tego ciągu jest równa
A. \(3\).
B. \(\frac{1}{5}\).
C. \(\frac{3}{5}\).
D. \(-\frac{5}{11}\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Oblicz granicę
.
W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po
przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.
Zadanie nr 12 — maturalne.
Ciąg \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\) wzorem \(a_n=\frac{(7p-1)n^3+5pn-3}{(p+1)n^3+n^2+p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \(a_n\) jest równa \(\frac{4}{3}\). W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.