Nauka » Matematyka » Obliczanie granic ciągów

Zadanie - obliczanie granicy ciągu

Treść zadania:

Obliczyć granicę $lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + . . . + n}{n^{2} + n - 1}$ .

Rozwiązanie zadania

W liczniku mamy ciąg arytmetyczny. Aby się o tym przekonać znajdziemy różnicę dwóch kolejnych wyrazów ciągu. Ciąg $1 + 2 + 3 + . . . + n$ można wyrazić za pomocą wzoru: $a_{n} = n$ . Kolejny wyraz ciągu, to $a_{n + 1} = n + 1$ . Obliczamy różnicę tych wyrazów:

$a_{n + 1} - a_{n} = n + 1 - n = 1 = c o n s t$

Ponieważ różnica dwóch kolejnych wyrazów ciągu jest stała, oznacza to, że mamy do czynienia z ciągiem arytmetycznym. Możemy zatem obliczyć sumę $n$ wyrazów, korzystając ze wzoru na sumę $n$ wyrazów ciągu arytmetycznego:

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} \cdot n

Obliczamy sumę naszego ciągu:

$a_{1} = 1$

$a_{n} = n$

$S_{n} = \frac{1 + n}{2} \cdot n = \frac{n + n^{2}}{2}$

Możemy teraz przejść do obliczania granicy ciągu:

$lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + . . . + n}{n^{2} + n - 1} = lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + n^{2}}{2}}{n^{2} + n - 1} = lim_{n \to \infty} \frac{n^{2} + n}{2 n^{2} + 2 n - 2}$

Dzielimy teraz licznik i mianownik przez $n^{2}$ , występującą w mianowniku.

$lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{n}{n^{2}}}{\frac{2 n^{2}}{n^{2}} + \frac{2 n}{n^{2}} - \frac{2}{n^{2}}} = lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2 + \frac{2}{n} - \frac{2}{n^{2}}} = \frac{1 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{1}{2}$

Skorzystaliśmy tutaj z równości:

$lim_{n \to \infty} a = a$ — granica ciągu stałego.
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$
$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0$

Odpowiedź

lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + . . . + n}{n^{2} + n - 1} = \frac{1}{2}

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1.

Obliczyć granicę $lim_{n \to \infty} (\frac{- n^{2} - 4 n + 1}{n^{2} + 2} - 5)$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Obliczyć granicę $lim_{n \to \infty} (\frac{n^{3} + n^{2} + 2 n + 3}{n + 1} - n^{2})$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 3.

Wykazać, że $lim_{n \to \infty} \sqrt{n} = + \infty$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 4.

Wykazać na podstawie definicji granicy niewłaściwej, że $lim_{n \to \infty} (1 + 2 n) = + \infty$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 5.

Wykazać, że $lim_{n \to \infty} \frac{1 - n^{2}}{n} = - \infty$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 6.

Wykazać, że $lim_{n \to \infty} 5^{n} = \infty$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 7.

Wykazać na podstawie definicji, że $lim_{n \to \infty} \frac{2 n + 3}{n} = 2$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 8 — maturalne.

Granica $lim_{n \to \infty} \frac{(p n^{2} + 4 n)^{3}}{5 n^{6} - 4} = - \frac{8}{5}$ . Wynika stąd, że

A. $p = - 8$

B. $p = 4$

C. $p = 2$

D. $p = - 2$

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 9 — maturalne.

Oblicz granicę $lim_{n \to \infty} (\frac{11 n^{3} + 6 n + 5}{6 n^{3} + 1} - \frac{2 n^{2} + 2 n + 1}{5 n^{2} - 4})$ . W poniższe kratki wpisz kolejno cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 10 — maturalne.

Ciąg $(a_{n})$ jest określony wzorem $\frac{3 n^{2} + 7 n - 5}{11 - 5 n + 5 n^{2}}$ dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ . Granica tego ciągu jest równa

A. $3$ .

B. $\frac{1}{5}$ .

C. $\frac{3}{5}$ .

D. $- \frac{5}{11}$ .

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 11 — maturalne.

Oblicz granicę

Zadanie 5, matura 2021 .

W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po
przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

Rys

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 12 — maturalne.

Ciąg $(a_{n})$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ wzorem $a_{n} = \frac{(7 p - 1) n^{3} + 5 p n - 3}{(p + 1) n^{3} + n^{2} + p}$ , gdzie $p$ jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość $p$ , dla której granica ciągu $a_{n}$ jest równa $\frac{4}{3}$ . W poniższe kratki wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania.