Zadanie — ciąg geometryczny
Treść zadania:
Wykazać, że ciąg \(a_n=(\sqrt{2})^n\) jest ciągiem geometrycznym.
Rozwiązanie zadania
Zgodnie z definicją ciągu geometrycznego iloraz ciągu jest stały i równy:
Obliczamy \((n+1)\)-ty wyraz ciągu:
\(a_n=(\sqrt{2})^n\)
\(a_{n+1}=(\sqrt{2})^{n+1}=\sqrt{2}\cdot (\sqrt{2})^n\)
Skorzystaliśmy tutaj z własności działań na potęgach:
Sprawdzamy wartość ilorazu ciągu geometrycznego:
\(q=\frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{\sqrt{2}\cancel{(\sqrt{2})^n}}{\cancel{(\sqrt{2})^n}} =\sqrt{2}=const\)
Ponieważ iloraz ciągu geometrycznego nie zależy od \(n\), jest wartością stałą (constans), wykazaliśmy, że dany ciąg jest ciągiem geometrycznym
© medianauka.pl, 2010-01-04, ZAD-487
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji wykładniczej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=a^x\). Punkt \(A=(1,2)\) należy do tego wykresu funkcji.
Podstawa potęgi \(a\) jest równa:
A. \(-\frac{1}{2}\)
B. \(1\frac{1}{2}\)
C. -2
D. 2
Zadanie nr 2 — maturalne.
Do wykresu funkcji wykładniczej, określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(f(x)=a^x\) (gdzie \(a>0\) i \(a\neq 1\), należy punkt \(P=(2,9)\). Oblicz a i zapisz zbiór wartości funkcji g, określonej wzorem \(g(x)=f(x)−2\).