Zadanie maturalne nr 31, matura 2022
Treść zadania:
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność \(\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2\).
Rozwiązanie zadania
Wykonujemy działania:
\(\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2\)
\(\frac{a^2+b^2}{2}>\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\cdot 4\)
\(2a^2+2b^2>a^2+2ab+b^2\)
\(a^2-2ab+b^2>0\)
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
\((a-b)^2>0\)
Ponieważ \(a\neq b\), to kwadrat różnicy tych liczb jest zawsze większy od zera, czego należało dowieść.
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-04-26, ZAD-4874
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=\frac{x}{2}-3\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie nr 2.
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=5-x\) jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a− 2b)+2b^2>0\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a,b\) i \(c\) takich, że \(a<b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b}<\frac{(a+c)}{(b+c)}\).
Zadanie nr 5 — maturalne.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x>y\), spełniona jest nierówność \(7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Liczby rzeczywiste \(x\) oraz \(y\) spełniają jednocześnie równanie \(x+y=4\) i nierówność \(x^3-x^2y\leq xy^2-y^3\). Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).