Zadanie maturalne nr 33, matura 2022
Treść zadania:
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta \(BAC\).
Rozwiązanie zadania
Dwusieczna kąta CAB dzieli go na dwa równe kąty, oznaczmy ich miarę przez \(\alpha\). Ponieważ trójkąt ABC jest równoramienną, kąt ABC również ma miarę \(\alpha\).
Ponieważ trójkąty ABC i ABD są podobne, więc kąt ABD ma miarę \(2\alpha\). Suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 180°, zatem:
\(2\alpha+2\alpha+\alpha=180°\)
\(5\alpha=180°/:5\)
\(\alpha=36°\)
\(|\angle BAS|=2\cdot 36°=72°\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-04-26, ZAD-4876
Zadania podobne
Zadanie nr 1 — maturalne.
Przedstawione na rysunku trójkąty \(ABC\) i \(PQR\) są podobne. Bok \(AB\) trójkąta \(ABC\) ma długość
A. 8
B. 8,5
C. 9,5
D. 10
Zadanie nr 2 — maturalne.
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\). Na przyprostokątnych \(AC\) i \(AB\) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \(D\) i \(G\). Na przeciwprostokątnej \(BC\) wyznaczono punkty \(E\) i \(F\) takie, że \(|\angle DEC|=|\angle BGF|=90°\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąt \(CDE\) jest podobny do trójkąta \(FBG\).
Zadanie nr 3 — maturalne.
Jeżeli trójkąty \(ABC\) i \(A'B'C'\) są podobne, a ich pola są, odpowiednio, równe 25 cm2 i 50 cm2, to skala podobieństwa \(\frac{A'B'}{AB}\) jest równa:
A. \(2\)
B. \(\frac{1}{2}\)
C. \(\sqrt{2}\)
D. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Zadanie nr 4 — maturalne.
W trójkącie \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\), a punkt \(E\) leży na boku \(AB\). Odcinek \(DE\) jest równoległy do boku \(AC\), a ponadto \(|BD|=10, |BC|=12\) i \(|AC|=24\) (zobacz rysunek).
A. \(m=22\)
B. \(m=20\)
C. \(m=12\)
D. \(m=11\)
Długość odcinka DE jest równa
Zadanie nr 5 — maturalne.
Dany jest trójkąt o bokach długości: \(2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}. 4\sqrt{5}\). Trójkątem podobnym do tego trójkąta jest trójkąt, którego boki mają długości:
A. \(10, 15, 20\)
B. \(20, 45, 80\)
C. \(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}\)
D. \(\sqrt{5}, 2\sqrt{5}, 3\sqrt{5}\)
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek).
Wtedy
A. \(|OK|=6\)
B. \(|OK|=8\)
C. \(|OK|=10\)
D. \(|OK|=12\)
Zadanie nr 7 — maturalne.
Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Trójkąt równoboczny \(ABC\) ma pole równe \(9\sqrt{3}\). Prosta równoległa do boku \(BC\) przecina boki \(AB\) i \(AC\) — odpowiednio — w punktach \(K\) i \(L\). Trójkąty \(ABC\) i \(AKL\) są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \(\frac{3}{2}\). Oblicz długość boku trójkąta \(AKL\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Trójkąty prostokątne \(T_1\) i \(T_2\) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \(T_1\) mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta \(T_2\) ma długość 26. Oblicz pole trójkąta \(T_2\). Zapisz obliczenia.