Zadanie maturalne nr 35, matura 2022
Treść zadania:
Wykres funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma z prostą o równaniu \(y=6\) dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty \(A=(−5,0)\) i \(B=(3,0)\) należą do wykresu funkcji \(f\). Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).
Rozwiązanie zadania
Skoro punkty A i B należą do wykresu naszej funkcji, to współrzędne tych punktów spełniają jej równanie:
\(\begin{cases}0=a\cdot(-5)^2+b\cdot (-5)+c \\ 0=a\cdot 3^2+b\cdot 3+c\end{cases}\)
\(\begin{cases}0=25a-5b+c \\ 0=9a+3b+c\end{cases}\)
Odejmując stronami powyższe równania, otrzymamy:
\(16a-8b=0/:8\)
\(2a-b=0\)
\(b=2a\)
Nasza parabola ma jeden punkt wspólny z prostą o równaniu \(y=6\). Jedynym takim przypadkiem jest przejście tej prostej przez wierzchołek paraboli. W innych przypadków prosta nie miałaby żadnych punktów wspólnych, albo miałaby dwa punkty wspólne.
Współrzędna \(y\) wierzchołka paraboli jest więc równa:
\(y_w=6\)
\(-\frac{\Delta}{4a}=6\)
\(-\frac{b^2-4ac}{4a}=6\)
\(-\frac{(2a)^2-4ac}{4a}=6\)
\(\frac{-4a^2+4ac}{4a}=6\)
\(\frac{4a(-a+c}{4a}=6\)
\(-a+c=6\)
\(c=6+a\)
Powyższą wartość wstawiamy do jednego z równań układu zdefiniowanego na początku rozwiązania zadania:
\(9a+3b+c=0\)
\(9a+3\cdot 2a+a+6=0\)
\(16a=-6\)
\(a=-\frac{6}{16}\)
\(a=-\frac{3}{8}\)
\(b=2\cdot(-\frac{3}{8})=-\frac{3}{4}\)
\(c=a+6=-\frac{3}{8}+6=\frac{45}{8}\)
Odpowiedź
\(a=-\frac{3}{8}\)
\(b=-\frac{3}{4}\)
\(c=\frac{45}{8}\)
© medianauka.pl, 2023-04-26, ZAD-4878
Zadania podobne
Zapytanie nie zostało wykonane poprawnie!