Nauka » Matematyka » Ciąg geometryczny Funkcja kwadratowa

Zadanie - ciąg geometryczny

Treść zadania:

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy $\frac{1}{\sqrt{2}}$, a siódmy $\sqrt{2}$. Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.

Rozwiązanie zadania

Wzór na $n$-ty wyraz ciągu jest następujący:

$a_n=a_1q^{n-1}$

Wiemy z warunków zadania, że:

$a_5=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$a_7=\sqrt{2}$

Korzystamy więc ze wzoru na $n$-ty wyraz ciągu:

$a_5=a_1q^{5-1}=a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$ a_7=a_1q^{7-1}=a_1q^6=\sqrt{2}$

Otrzymujemy układ równań, który możemy rozwiązać metodą podstawienia (zgodnie z definicją $q$ jest różne od zera i możemy wykonać poniższe działania):

$\begin{cases}a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}}/:q^4 \\ a_1q^6=\sqrt{2}\end{cases}$

$\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{1}{\sqrt{2}q^4}\cdot q^6=\sqrt{2}/\cdot \sqrt{2} \end{cases}$

$\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{q^6}{q^4}=2 \end{cases}$

$\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q^2=2 \end{cases}$

$\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}$

Otrzymaliśmy dwa układy równań ze względu na podwójne rozwiązanie drugiego równania w układzie. Teraz możemy obliczyć wyraz $a_1$ w pierwszym równaniu.

$\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}$

$\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2})^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(-\sqrt{2})^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}$

$\begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}$

$\frac{1}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\cdot {\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}$

$\begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}$

Mamy więc do czynienia z dwoma możliwymi ciągami. Aby obliczyć wartość dziewiątego wyrazu ciągu stosujemy bezpośrednio przytoczony tutaj na wstępie wzór na $n$-ty wyraz ciągu geometrycznego:

$a_9=a_1q^{9-1}=a_1q^8$

Zauważamy, że w przypadku obu ciągów wyraz pierwszy jest ten sam, a iloraz q jest przeciwny, a ponieważ w dziewiątym wyrazie ciągu q występuje w parzystej potędze, więc w przypadku obu ciągów otrzymamy ten sam wynik. Dziewiąty wyraz w przypadku obu ciągów jest równy:

$a_9=a_1q^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot(\sqrt{2})^8 =\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 2^4= \frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 16=2\sqrt{2}$

Pozostało nam obliczyć sumę pierwszych 10 wyrazów ciągu zgodnie ze wzorem:

$S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}$

Mamy więc dwa różne rozwiązania, gdyż mamy dwa możliwe ilorazy ciągu geometrycznego.

Przypadek 1 — dla $q=\sqrt{2}$.

$S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(\sqrt{2})^{10}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(2^{\frac{1}{2}})^{10}}{1-\sqrt{2}}\cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-2^5)(1+\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=$

Zastosowano tu wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

$\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1+\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1+\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (31+31\sqrt{2})= \\ =\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}$

Przypadek 2 — dla $q=-\sqrt{2}$.

$S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(-\sqrt{2})^{10}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-32}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1-\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=$

$=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(-31)(1-\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1-\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (-31+31\sqrt{2})= \\ =-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}$

Odpowiedź

$a_9=2\sqrt{2}, S_{10}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}$ lub $S_{10}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}$

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt $W=(1,9)$. Liczby $-2$ i $4$ to miejsca zerowe funkcji $f$.

ilustracja do zadania nr 10 matura 2016