Zadanie - ciąg geometryczny

Treść zadania:

Piąty wyraz ciągu geometrycznego jest równy \(\frac{1}{\sqrt{2}}\), a siódmy \(\sqrt{2}\). Znaleźć dziewiąty wyraz ciągu i obliczyć sumę pierwszych dziesięciu wyrazów tego ciągu geometrycznego.


ksiązki Rozwiązanie zadania

Wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu jest następujący:

a_n=a_1q^{n-1}

Wiemy z warunków zadania, że:

\(a_5=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(a_7=\sqrt{2}\)

Korzystamy więc ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu:

\(a_5=a_1q^{5-1}=a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\( a_7=a_1q^{7-1}=a_1q^6=\sqrt{2}\)

Otrzymujemy układ równań, który możemy rozwiązać metodą podstawienia (zgodnie z definicją \(q\) jest różne od zera i możemy wykonać poniższe działania):

\(\begin{cases}a_1q^4=\frac{1}{\sqrt{2}}/:q^4 \\ a_1q^6=\sqrt{2}\end{cases}\)

\(\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{1}{\sqrt{2}q^4}\cdot q^6=\sqrt{2}/\cdot \sqrt{2} \end{cases}\)

\(\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ \frac{q^6}{q^4}=2 \end{cases}\)

\(\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q^2=2 \end{cases}\)

\(\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}\)

Otrzymaliśmy dwa układy równań ze względu na podwójne rozwiązanie drugiego równania w układzie. Teraz możemy obliczyć wyraz \(a_1\) w pierwszym równaniu.

\(\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}q^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}\)

\(\begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2})^4} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{1}{\sqrt{2}(-\sqrt{2})^4} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}\)

\(\begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{1}{4\sqrt{2}} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}\)

\(\frac{1}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\cdot {\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\)

\(\begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=\sqrt{2} \end{cases} \ \vee \begin{cases}a_1=\frac{\sqrt{2}}{8} \\ q=-\sqrt{2} \end{cases}\)

Mamy więc do czynienia z dwoma możliwymi ciągami. Aby obliczyć wartość dziewiątego wyrazu ciągu stosujemy bezpośrednio przytoczony tutaj na wstępie wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:

\(a_9=a_1q^{9-1}=a_1q^8\)

Zauważamy, że w przypadku obu ciągów wyraz pierwszy jest ten sam, a iloraz q jest przeciwny, a ponieważ w dziewiątym wyrazie ciągu q występuje w parzystej potędze, więc w przypadku obu ciągów otrzymamy ten sam wynik. Dziewiąty wyraz w przypadku obu ciągów jest równy:

\(a_9=a_1q^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot(\sqrt{2})^8 =\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (2^{\frac{1}{2}})^8=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 2^4= \frac{\sqrt{2}}{8}\cdot 16=2\sqrt{2}\)

Pozostało nam obliczyć sumę pierwszych 10 wyrazów ciągu zgodnie ze wzorem:

\(S_n=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}\)

Mamy więc dwa różne rozwiązania, gdyż mamy dwa możliwe ilorazy ciągu geometrycznego.

Przypadek 1 — dla \(q=\sqrt{2}\).

\(S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(\sqrt{2})^{10}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(2^{\frac{1}{2}})^{10}}{1-\sqrt{2}}\cdot \frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-2^5)(1+\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=\)

Zastosowano tu wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\(\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1+\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1+\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (31+31\sqrt{2})= \\ =\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}\)

Przypadek 2 — dla \(q=-\sqrt{2}\).

\(S_{10}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-(-\sqrt{2})^{10}}{1+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{1-32}{1+\sqrt{2}}\cdot \frac{1-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(1-32)(1-\sqrt{2})}{1^2-(\sqrt{2})^2}=\)

\(=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{(-31)(1-\sqrt{2})}{1-2}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot \frac{-31(1-\sqrt{2})}{-1}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot (-31+31\sqrt{2})= \\ =-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{8}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}\)

ksiązki Odpowiedź

\(a_9=2\sqrt{2}, S_{10}=-\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}\) lub \(S_{10}=\frac{31\sqrt{2}}{8}+\frac{31}{4}\)

© medianauka.pl, 2010-01-05, ZAD-488

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


zadanie maturalne

Zadanie nr 1 — maturalne.

Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W=(1,9)\). Liczby \(-2\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\).

ilustracja do zadania nr 10 matura 2016

Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział:

A. \((-\infty,-2]\)

B. \([-2,4]\)

C. \([4,\infty)\)

D. \((-\infty,9]\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2 — maturalne.

Funkcja kwadratowa określona jest wzorem \(f(x)=x^2+x+c\). Jeżeli \(f(3)=4\), to:

A. \(f(1)=-6\)

B. \(f(1)=0\)

C. \(f(1)=6\)

D. \(f(1)=18\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \(f(x) = x^2-6x+3\) w przedziale \([0,4]\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Liczby \((-1)\) i \(3\) są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej \(f\). Oblicz \(\frac{f(6)}{f(12)}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \(f(x)=ax^2+bx +c\), której miejsca zerowe to: −3 i 1.

Rysunek do zadania

Współczynnik c we wzorze funkcji f jest równy:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.