Zadanie maturalne nr 3, matura 2022 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Jeżeli \(\cos{\beta}=−\frac{1}{3}\) i \(\beta \in (\pi,\frac{3}{2}\pi)\), to wartość wyrażenia \(\sin(\beta−\frac{1}{3}\pi)\) jest równa
A. \(\frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\)
B. \(\frac{2\sqrt{6}+2}{6}\)
C. \(\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\)
D. \(\frac{1-2\sqrt{6}}{6}\)
Rozwiązanie zadania
Skorzystajmy ze wzoru na sinus różnicy kątów:
\(\sin({\alpha-\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\)
\(\sin({\beta-\frac{\pi}{3}})=\sin{\beta}\cos{\frac{\pi}{3}}-\cos{\beta}\sin{\frac{\pi}{3}}\)
Ponieważ \(\cos{\beta}=−\frac{1}{3}\), to:
\(\sin({\beta-\frac{\pi}{3}})=\sin{\beta}\cdot \frac{1}{2}- (-\frac{1}{3})\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{1}{2}\sin{\beta}+\frac{\sqrt{3}}{6}\)
Skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej:
\(\sin^2{\beta}+\cos^2{\beta}=1\)
\(\sin^2{\beta}+(-\frac{1}{3})^2=1\)
\(\sin^2{\beta}+\frac{1}{9}=1\)
\(\sin^2{\beta}=1-\frac{1}{9}\)
\(\sin^2{\beta}=\frac{8}{9}\)
\(\sin{\beta}=\sqrt{\frac{8}{9}}\) lub \(\sin{\beta}=-\sqrt{\frac{8}{9}}\)
Ponieważ \(\beta \in (\pi,\frac{3}{2}\pi)\), to w tym przedziale sinus przyjmuje wyłącznie wartości ujemne (spójrz na wykres).
Zatem:
\(\sin{\beta}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\).
Wracając do początkowych obliczeń:
\(\sin({\beta-\frac{\pi}{3}})= \frac{1}{2}\sin{\beta}+\frac{\sqrt{3}}{6}=\)
\(=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{2\sqrt{2}}{3})+\frac{\sqrt{3}}{6}= -\frac{2\sqrt{2}}{6})+\frac{\sqrt{3}}{6}= \frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-04-27, ZAD-4881
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Znaleźć okres podstawowy funkcji
a) \(y=\sin{2x}\)
b) \(y= \sin{\pi x}\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).
Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji \(f\).
A. \(f(x)=\frac{\cos{x}+1}{|\cos{|x|}+1}\)
B. \(f(x)=\frac{\sin{x}+1}{|\sin{|x|}+1}\)
C. \(f(x)=\frac{\cos{x}-2}{|\cos{|x|}-2}\)
D. \(f(x)=\frac{\sin{x}-2}{|\sin{|x|}-2}\)