zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 3, matura 2022 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Jeżeli \(\cos{\beta}=−\frac{1}{3}\) i \(\beta \in (\pi,\frac{3}{2}\pi)\), to wartość wyrażenia \(\sin(\beta−\frac{1}{3}\pi)\) jest równa

A. \(\frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\)

B. \(\frac{2\sqrt{6}+2}{6}\)

C. \(\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\)

D. \(\frac{1-2\sqrt{6}}{6}\)


ksiązki Rozwiązanie zadania

Skorzystajmy ze wzoru na sinus różnicy kątów:

\(\sin({\alpha-\beta})=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}\)

\(\sin({\beta-\frac{\pi}{3}})=\sin{\beta}\cos{\frac{\pi}{3}}-\cos{\beta}\sin{\frac{\pi}{3}}\)

Ponieważ \(\cos{\beta}=−\frac{1}{3}\), to:

\(\sin({\beta-\frac{\pi}{3}})=\sin{\beta}\cdot \frac{1}{2}- (-\frac{1}{3})\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{1}{2}\sin{\beta}+\frac{\sqrt{3}}{6}\)

Skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej:

\(\sin^2{\beta}+\cos^2{\beta}=1\)

\(\sin^2{\beta}+(-\frac{1}{3})^2=1\)

\(\sin^2{\beta}+\frac{1}{9}=1\)

\(\sin^2{\beta}=1-\frac{1}{9}\)

\(\sin^2{\beta}=\frac{8}{9}\)

\(\sin{\beta}=\sqrt{\frac{8}{9}}\) lub \(\sin{\beta}=-\sqrt{\frac{8}{9}}\)

Ponieważ \(\beta \in (\pi,\frac{3}{2}\pi)\), to w tym przedziale sinus przyjmuje wyłącznie wartości ujemne (spójrz na wykres).

wykres funkcji sinus

Zatem:

\(\sin{\beta}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\).

Wracając do początkowych obliczeń:

\(\sin({\beta-\frac{\pi}{3}})= \frac{1}{2}\sin{\beta}+\frac{\sqrt{3}}{6}=\)

\(=\frac{1}{2}\cdot (-\frac{2\sqrt{2}}{3})+\frac{\sqrt{3}}{6}= -\frac{2\sqrt{2}}{6})+\frac{\sqrt{3}}{6}= \frac{-2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}\)

ksiązki Odpowiedź

Odpowiedź A

© medianauka.pl, 2023-04-27, ZAD-4881

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

Znaleźć okres podstawowy funkcji: \(y=\sin{2x}\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

Zadanie nr 2.

Znaleźć okres podstawowy funkcji

a) \(y=\sin{2x}\)

b) \(y= \sin{\pi x}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji \(f\) określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Zadanie 2, matura z matematyki 2021

Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji \(f\).

A. \(f(x)=\frac{\cos{x}+1}{|\cos{|x|}+1}\)

B. \(f(x)=\frac{\sin{x}+1}{|\sin{|x|}+1}\)

C. \(f(x)=\frac{\cos{x}-2}{|\cos{|x|}-2}\)

D. \(f(x)=\frac{\sin{x}-2}{|\sin{|x|}-2}\)

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.