Zadanie maturalne nr 6, matura 2022 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(2x>y\), spełniona jest nierówność \(7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3\).
Rozwiązanie zadania
Przekształcamy nasze wyrażenie:
\(7x^3+4x^2y\geq y^3+2xy^2-x^3\)
\(7x^3+4x^2y-y^3-2xy^2+x^3\geq 0\)
\(8x^3+4x^2y-y^3-2xy^2\geq 0\)
\(4x^2(2x+y)-y^2(2x+y)\geq 0\)
\((2x+y)(4x^2-y^2)\geq 0\)
\((2x+y)(2x-y)(2x+y)\geq 0\)
\((2x-y)(2x+y)^2\geq 0\)
Ponieważ w warunku zadania mamy określone, że \(2x>y\), czyli \(2x-y>0\) i kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, to udowodniliśmy, że wyrażenie \((2x-y)(2x+y)^2\geq 0\) jest prawdziwe dla \(2x>y\).
© medianauka.pl, 2023-04-28, ZAD-4884
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=\frac{x}{2}-3\) jest rosnąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie nr 2.
Wykazać na podstawie definicji, że funkcja \(f(x)=5-x\) jest malejąca w całej swojej dziedzinie.
Zadanie nr 3 — maturalne.
Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a− 2b)+2b^2>0\).
Zadanie nr 4 — maturalne.
Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a,b\) i \(c\) takich, że \(a<b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b}<\frac{(a+c)}{(b+c)}\).
Zadanie nr 5 — maturalne.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\neq a\), spełniona jest nierówność \(\frac{a^2+b^2}{2}>(\frac{a+b}{2})^2\).
Zadanie nr 6 — maturalne.
Liczby rzeczywiste \(x\) oraz \(y\) spełniają jednocześnie równanie \(x+y=4\) i nierówność \(x^3-x^2y\leq xy^2-y^3\). Wykaż, że \(x=2\) oraz \(y=2\).