zadanie maturalne

Zadanie maturalne nr 8, matura 2022 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o 2 mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2+|CP|^2−|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).


ksiązki Rozwiązanie zadania

Sporządzamy rysunek poglądowy i wprowadzamy dodatkowe oznaczenia.

Rysunek

Przez \(R\) oznaczymy promień okręgu opisanego na trójkącie \(CPD\)/. Kąty \(|\angle SPD|=|\angle APB|=\alpha\) z uwagi na to, że katami wierzchołkowymi. W trapezie \(AB||CD\), zatem \(|\angle PCD|=|\angle PAB|\) i \(|\angle ABP|=|\angle PDC|\), a trójkąty ABP i CDP są z uwagi na spełnianie cechy kat-kąt-kąt podobne.

Możemy więc napisać, że:

\(\frac{R+3}{a}=\frac{R}{a-2}\)

\((R+3)(a-2)=aR\)

\(aR-2R+3a-6-aR=0\)

\(-2R+3a-6=0\)

\(3a=2R+6\)

\(|AB|=a=\frac{2}{3}R+2\)

\(|CD|=a-2=\frac{2}{3}R\)

Dla trójkąta CPD możemy zastosować twierdzenie sinusów:

\(\frac{|CD|}{\sin{\alpha}}=2R\)

\(\frac{\frac{2}{3}R}{\sin{\alpha}}=2R\)

\(\sin{\alpha}=\frac{1}{3}\)

Obliczmy cosinus kąta \(alpha\), korzystając z jedynki trygonometrycznej:

\(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1\)

\((\frac{1}{3})^2+\cos^2{\alpha}=1\)

\(\cos^2{\alpha}=1-\frac{1}{9}\)

\(\cos{\alpha}=\sqrt{\frac{8}{9}}\)

\(\cos{\alpha}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)

Zapiszmy twierdzenie cosinusów dla trójkąta CPD:

\(|CD|^2=|DP|^2+|CP|^2-2\cdot |DP|\cdot |CP|\cdot \cos{\alpha}\)

\(|CD|^2=|DP|^2+|CP|^2-2\cdot |DP|\cdot |CP|\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}\)

\(|DP|^2+|CP|^2 -|CD|^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}\cdot |DP|\cdot |CP|\).

Co należało wykazać.


© medianauka.pl, 2023-04-28, ZAD-4886

AI
Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.
Zbiór zadań z matematyki
Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.
wykresy on-line
Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadania podobne


Zadanie nr 1.

W trójkącie dane są dwa boki \(a=40, b=35\) i kąt leżący naprzeciwko większego boku \(\alpha=45°\). Znaleźć pozostałe kąty i długość trzeciego boku.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 2 — maturalne.

Długości boków czworokąta \(ABCD\) są równe: \(|AB|=2, |BC|=3, |CD|=4, |DA|=5\). Na czworokącie \(ABCD\) opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej \(AC\) tego czworokąta.

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 3 — maturalne.

Przekątne sąsiednich ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworzą z jego podstawą kąty o miarach \(\frac{\pi}{3}\) i \(\alpha\). Cosinus kąta między tymi przekątnymi jest równy \(\frac{\sqrt{6}}{4}\). Wyznacz miarę kąta \(\alpha\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 4 — maturalne.

Punkt \(D\) leży na boku \(AB\) trójkąta \(ABC\) oraz \(|AC|=16, |AD|=6, |CD|=14\) i \(|BC|=|BD|\). Oblicz obwód trójkąta \(ABC\).

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 5 — maturalne.

W trójkącie \(ABC\) bok \(AB\) jest 3 razy dłuższy od boku \(AC\), a długość boku BC stanowi \(\frac{4}{5}\) długości boku \(AB\). Oblicz cosinus najmniejszego kąta trójkąta \(ABC\).

W kratki poniżej wpisz kolejno – od lewej do prawej – pierwszą, drugą oraz trzecią cyfrę po przecinku nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.

kratki

Pokaż rozwiązanie zadania.

zadanie maturalne

Zadanie nr 6 — maturalne.

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\angle ABC|=90°\) oraz \(|\angle CAB|=60°\). Punkty \(K\) i \(L\) leżą na bokach – odpowiednio – \(AB\) i \(BC\) tak, że \(|BK|=|BL|=1\) (zobacz rysunek). Odcinek \(KL\) przecina wysokość \(BD\) tego trójkąta w punkcie \(N\), a ponadto \(|AD|=2\).

Zadanie 5, matura, matematyka rozszerzona 2023

Wykaż, że \(|ND|=\sqrt{3}+1\).

Pokaż rozwiązanie zadania.




Udostępnij
©® Media Nauka 2008-2023 r.