Zadanie maturalne nr 10, matura 2022 - poziom rozszerzony

Treść zadania:

Ciąg $(a_{n})$ , określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto $a_{1} = 675$ i $a_{22} = \frac{5}{4} a_{23} + \frac{1}{5} a_{21}$ . Ciąg $(b_{n})$ , określony dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ , jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu $a_{n}$ jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu $(b_{n})$ . Ponadto $a_{3} = b_{4}$ . Oblicz $b_{1}$ .

Rozwiązanie zadania

Skorzystajmy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: $a_{n + 1} = q a_{n}$ .

Mamy więc:

$a_{22} = \frac{5}{4} a_{23} + \frac{1}{5} a_{21}$

$a_{21} q = \frac{5}{4} a_{22} q + \frac{1}{5} a_{21}$

$a_{21} q = \frac{5}{4} a_{21} q^{2} + \frac{1}{5} a_{21} / : a_{21}$

To, że $a_{21} \neq 0$ i możemy wykonać powyższe dzielenie wynika z warunków zadania.

$q = \frac{5}{4} q^{2} + \frac{1}{5}$

$\frac{5}{4} q^{2} - q + \frac{1}{5} = 0 / \cdot 20$

$25 q^{2} - 20 q + 4 = 0$

$Δ = 400 - 4 \cdot 25 \cdot 4 = 0$

$q_{0} = - \frac{- 20}{2 \cdot 25} = \frac{2}{5}$

Ponieważ $| q | < 1$ , możemy obliczyć sumę nieskończonego szeregi geometrycznego ze wzoru: $S = \frac{a_{1}}{1 - q}$ :

$S = \frac{675}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{675}{\frac{3}{5}} = 1125$

Obliczmy sumę 25 wyrazów ciągu arytmetycznego:

$S_{25} = \frac{b_{1} + b_{25}}{2} \cdot 25 = S = 1125$

$\frac{b_{1} + b_{1} + 24 r}{2} \cdot 25 = 1125$

$\frac{2 b_{1} + 24 r}{2} \cdot 25 = 1125 / : 25$

$b_{1} + 12 r = 45$

Z warunków zadania wiemy, że:

$a_{3} = b_{4}$

$a_{3} = a_{1} q^{2} = 675 \cdot \frac{4}{25} = 108$

$b_{4} = b_{1} + 3 r$

$b_{1} + 3 r = 108$

Pamiętamy, że

$b_{1} + 12 r = 45$

Stąd, odejmując stronami pierwsze równanie od drugiego:

$8 r = - 63$

$r = - 7$

Znając $r$ możemy obliczyć szukane $b_{1}$ :

$b_{1} + 3 r = 108$

$b_{1} + 3 \cdot (- 7) = 108$

$b_{1} = 108 + 21 = 129$

Odpowiedź

b_{1} = 129

Matura z matematyki

Zbiór zadań maturalnych z ubiegłych lat na poziomie podstawowym i rozszerzonym oraz centrum dowodzenia dla maturzystów.

Zbiór zadań z matematyki

Zbiór zadań z matematyki wraz z pełnymi rozwiązaniami. W naszej bazie zgromadziliśmy ponad tysiąc zadań.

WYKRESY ONLINE

Narysuj wykres funkcji w programie do szkicowania wykresów i odczytaj jego własności.

Zadanie maturalne nr 10, matura 2022 - poziom rozszerzony

Rozwiązanie zadania

Odpowiedź

Zadania podobne