Zadanie maturalne nr 10, matura 2022 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Ciąg \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto \(a_1=675\) i \(a_{22}=\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}\). Ciąg \((b_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu \(a_n\) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((b_n)\). Ponadto \(a_3=b_4\). Oblicz \(b_1\).
Rozwiązanie zadania
Skorzystajmy ze wzoru na n-ty wyraz ciągu geometrycznego: \(a_{n+1}=qa_n\).
Mamy więc:
\(a_{22}=\frac{5}{4}a_{23}+\frac{1}{5}a_{21}\)
\(a_{21}q=\frac{5}{4}a_{22}q+\frac{1}{5}a_{21}\)
\(a_{21}q=\frac{5}{4}a_{21}q^2+\frac{1}{5}a_{21}/:a_{21}\)
To, że \(a_{21}\neq 0\) i możemy wykonać powyższe dzielenie wynika z warunków zadania.
\(q=\frac{5}{4}q^2+\frac{1}{5}\)
\(\frac{5}{4}q^2-q+\frac{1}{5}=0/\cdot 20\)
\(25q^2-20q+4=0\)
\(\Delta=400-4\cdot 25\cdot 4=0\)
\(q_0=-\frac{-20}{2\cdot 25}=\frac{2}{5}\)
Ponieważ \(|q|<1\), możemy obliczyć sumę nieskończonego szeregi geometrycznego ze wzoru: \(S=\frac{a_1}{1-q}\):
\(S=\frac{675}{1-\frac{2}{5}}=\frac{675}{\frac{3}{5}}=1125\)
Obliczmy sumę 25 wyrazów ciągu arytmetycznego:
\(S_{25}=\frac{b_1+b_{25}}{2}\cdot 25=S=1125\)
\(\frac{b_1+b_1+24r}{2}\cdot 25=1125\)
\(\frac{2b_1+24r}{2}\cdot 25=1125/:25\)
\(b_1+12r=45\)
Z warunków zadania wiemy, że:
\(a_3=b_4\)
\(a_3=a_1q^2=675\cdot\frac{4}{25}=108\)
\(b_4=b_1+3r\)
\(b_1+3r=108\)
Pamiętamy, że
\(b_1+12r=45\)
Stąd, odejmując stronami pierwsze równanie od drugiego:
\(8r=-63\)
\(r=-7\)
Znając \(r\) możemy obliczyć szukane \(b_1\):
\(b_1+3r=108\)
\(b_1+3\cdot(-7)=108\)
\(b_1=108+21=129\)
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-04-28, ZAD-4888
