Zadanie maturalne nr 11, matura 2022 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Rozwiąż równanie \(\sin{x}+\sin{2x}+\sin{3x}=0\) w przedziale \(\langle 0,\pi \rangle\).
Rozwiązanie zadania
Dane jest równanie:
\(\sin{x}+\sin{2x}+\sin{3x}=0\)
\(\sin{x}+\sin{2x}+\sin{x+2x}=0\)
Korzystamy ze wzoru na sinus sumy kątów:
\(\sin{x}+\sin{2x}+\sin{x}\cos{2x}+\cos{x}\sin{2x}=0\)
Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta:
\(\sin{x}+2\sin{x}\cos{x}+\sin{x}\cos{2x}+ \cos{x}\cdot 2\sin{x}\cos{x}=0\)
Wyłączamy \(\sin{x}\) przed nawias:
\(\sin{x}(1+2\cos{x}+\cos{2x}+ 2\cos^2{x})=0\)
Korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta:
\(\sin{x}(1+2\cos{x}+\cos^2{x}-\sin^2{x}+ 2\cos^2{x})=0\)
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
\(\sin{x}(1+2\cos{x}+\cos^2{x}-(1-\cos^2{x})+ 2\cos^2{x})=0\)
\(\sin{x}(1+2\cos{x}+\cos^2{x}-1+\cos^2{x}+ 2\cos^2{x})=0\)
\(\sin{x}(2\cos{x}+4\cos^2{x})=0\)
\(2\sin{x}\cdot \cos{x}\cdot (1+2\cos{x})=0/:2\)
\(\sin{x}\cdot \cos{x}\cdot (1+2\cos{x})=0\)
\(sin{x}=0\) lub \(cos{x}=0\) lub \(cos{x}=-\frac{1}{2}\)
\(x=k\pi\) lub \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) lub \(x-\frac{2}{3}\pi+2k\pi\) lub \(x-\frac{4}{3}\pi+2k\pi\)
Zaś rozwiązania tego równania w przedziale \(\langle 0,\pi \rangle\) są następujące
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-04-29, ZAD-4889
Zadania podobne
Zadanie nr 2.
Rozwiązać równanie:
a) \(ctg3x=\sqrt{3}\)
b) \(2\cos{3x}=\sqrt{2}\)
c) \(\cos{5x}=\sqrt{2}\)
Zadanie nr 3 — maturalne.
Równanie \(2sinx+3cosx=6\) w przedziale \((0,2\pi)\)
A. nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B. ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C. ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D. ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.
Zadanie nr 4 — maturalne.
Rozwiąż równanie \(2\cos^2{x}+3\sin{x}=0\) w przedziale \(\langle -\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\rangle\).