Zadanie maturalne nr 12, matura 2022 - poziom rozszerzony
Treść zadania:
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-(m+1)x+m=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1\neq 0, x_2\neq 0\) oraz \(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}\).
Rozwiązanie zadania
Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, jeżeli \(\Delta>0\). Zatem:
\(\Delta=b^2-4ac=[-(m+1)]^2-4\cdot 1 \cdot m = (m+1)^2-4m=m^2+2m+1-4m=(m-1)^2>0\)
Nierówność ta jest spełniona dla \(m\in \mathbb{R}\setminus {1}\).
Przekształcamy wyrażenie z miejscami zerowymi:
\(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2} +\frac{1}{x_2^2}\)
\(\frac{x_2}{x_1x_2}+\frac{x_1}{x_1x_2}+2 =\frac{x_2^2}{x_1^2x_2^2} +\frac{x_1^2}{x_1^2x_2^2}\)
\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+2 = \frac{x_1^2 + x_2^2}{(x_1\cdot x_2)^2}\)
\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+2 = \frac{x_1^2 + x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2}{(x_1\cdot x_2)^2}\)
\(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}+2 = \frac{(x_1 + x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1\cdot x_2)^2}\)
Skorzystamy z wzorów Viete'a:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m+1\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}=m\)
Zatem:
\(\frac{m+1}{m}+2=\frac{(m+1)^2-2m}{m^2}\)
\(\frac{m(m+1)}{m^2}+\frac{2m^2}{m^2}-\frac{(m+1)^2-2m}{m^2}=0\)
\(\frac{m(m+1)+2m^2-(m+1)^2+2m}{m^2}=0\)
\(m^2+m+2m^2-m^2-2m-1+2m=0\)
\(2m^2+m-1=0\)
\(\Delta_m=1+8=9\)
\(m_1=\frac{-1-3}{4}=-1\)
\(m_2=\frac{-1+3}{4}=\frac{1}{2}\)
Zatem:
Odpowiedź
© medianauka.pl, 2023-04-29, ZAD-4890
Zadania podobne
Zadanie nr 1.
Dla jakich wartości parametru \(m\) suma odwrotności pierwiastków równania \(x^2-2(m+1)x+(m^2+3m-18)=0\) ma wartość ujemną?
Zadanie nr 2.
Kwadrat różnicy pierwiastków równania kwadratowego \(x^2-x+m=0\) jest równy 17. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 3.
Suma kwadratów pierwiastków równania kwadratowego \(x^2+dx+1=0\) jest równa 7. Znaleźć rozwiązanie tego równania.
Zadanie nr 4.
Znaleźć równanie kwadratowe, którego suma kwadratów pierwiastków jest równa \(\frac{17}{4}\), a suma odwrotności pierwiastków jest równa \(\frac{3}{2}\).
Zadanie nr 5.
Rozwiązać równanie kwadratowe \(x^2+mx-3=0\), jeśli wiadomo, że suma odwrotności pierwiastków równania jest równa 2.
Zadanie nr 6 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=x^2+2(m+1)x+6m+1\). Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru m, dla których ten trójmian ma dwa różne pierwiastki \(x_1\), \(x_2\) tego samego znaku, spełniające warunek \(|x_1-x_2|<3\).
Zadanie nr 7 — maturalne.
Dany jest trójmian kwadratowy \(f(x)=(m+1)x^2+2(m-2)x-m+4\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian \(f\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \(x_1^2-x_2^2=x_1^4-x_2^4\).
Zadanie nr 8 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(4x^2−6mx+(2m+ 3)(m− 3)=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\), przy czym \(x_1<x_2\), spełniające warunek \((4x_1-4x_2-1)(4x_1-4x_2+1)<0\).
Zadanie nr 9 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2 + (m+1)x−m^2+1=0\) ma dwa rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) i \(x_2\) \((x_1\neq x_2)\), spełniające warunek \(x^3_1+x^3_2>−7x_1x_2\).
Zadanie nr 10 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m +1)x^2+(m+2)x+m−3\) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1, x_2\), spełniające warunek \((x_1- x_2)^2+5x_1x_2 \geq 1\).
Zadanie nr 11 — maturalne.
Dane jest równanie kwadratowe \(x^2−(3m+2)x+2m^2+7m−15=0\) z niewiadomą \(x\). Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których różne rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\)tego równania istnieją i spełniają warunek \(2x^2_1+5x_1x_2+2x^2_2=2\).
Zadanie nr 12 — maturalne.
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\neq 2\), dla których równanie
\(x^2+4x-\frac{m-3}{m-2}=0\)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1, x_2\) spełniające warunek \(x_1^3+x_2^3>-28\). Zapisz obliczenia.